集合的基本性质

集合的并、交、补运算满足交换律、结合律、分配律与 De Morgan 法则，是定义测度所需的 σ-代数的代数基础。

交换律

$$A \cup B=B \cup A \qquad A \cap B=B \cap A$$

结合律

$$A \cup (B \cup C)=(A \cup B) \cup C$$

$$A \cap (B \cap C)=(A \cap B) \cap C$$

分配律

$$A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C)$$

$$A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)$$

交换律和结合律可适用于任意多个集合的情形，即当多个集合作并运算时，可以更改运算顺序，交运算也是如此。

至于分配律，可以写为

$$A \cap (\cup_{\alpha \in I}B_{\alpha})= \cup_{\alpha \in I}(A \cap B_{\alpha})$$

$$A \cup (\cap_{\alpha \in I}B_{\alpha})= \cap_{\alpha \in I}(A \cup B_{\alpha})$$

De.Morgan 法则

$$(\cup_{\alpha \in I}A_{\alpha})^c=\cap_{\alpha \in I}A_{\alpha}^c$$

$$(\cap_{\alpha \in I}A_{\alpha})^c=\cup_{\alpha \in I}A_{\alpha}^c$$