Jordan分解

符号测度取值的正负混在一起，难以使用单调性、绝对值等工具。Jordan 分解把符号测度唯一拆成一个正测度与一个负测度之差，从而建立测度论的"绝对值"（全变差）与大小比较，是哈恩分解的直接推论。需先掌握哈恩分解与测度的定义与性质。

定义

设 $\nu$ 是符号测度，$(P, N)$ 为其一个哈恩分解。定义

$$\nu^+(E) = \nu(E \cap P), \qquad \nu^-(E) = -\nu(E \cap N)$$

则 $\nu^+, \nu^-$ 是互相奇异（$\nu^+ \perp \nu^-$）的测度，且

$$\nu = \nu^+ - \nu^-$$

称为 $\nu$ 的 Jordan 分解；$\nu^+, \nu^-$ 分别称为正部、负部。全变差为

$$|\nu| = \nu^+ + \nu^-$$

性质

• 唯一性：Jordan 分解唯一（不依赖哈恩分解的选择）。
• $\nu^+ \perp \nu^-$，即 $|\nu|$ 的支撑被分成互不相交的两部分。
• 符号测度 $\nu$ 是测度当且仅当 $\nu^- = 0$。
• $\nu$ 有限 $\iff$ $\nu^+, \nu^-, |\nu|$ 均有限。

例

• $\nu(E) = \int_E f\,d\mu$（$f$ 实值可积）：$\nu^+(E) = \int_E f^+\,d\mu$、$\nu^-(E) = \int_E f^-\,d\mu$、$|\nu|(E) = \int_E |f|\,d\mu$。
• 函数版本：$f \in BV[a,b]$ 当且仅当 $f = g - h$（$g, h$ 递增），这是由 $f$ 诱导的符号测度作 Jordan 分解的实函数形式（见有界变差函数）。

后续

Jordan 分解给出全变差与"测度大小的偏序"，是Radon-Nikodym定理、复测度、有界变差函数变差理论以及概率论中分布函数变差分解的基础。