σ-代数

测度只能"合法地"度量一部分集合，σ-代数就是划出这部分集合的代数结构：它把并交补运算封闭到可数层次，保证可数并、可数交、补集都不逃出可测范围，是可数可加性得以成立的最小组织框架。从区间长度推广出外测度后，正是靠 σ-代数把行为良好的集合（可测集）聚拢成族。

需先掌握集合的基本性质（并交补与 De Morgan 法则）。

定义

设 $X$ 为集合，$\mathcal{A}$ 是 $X$ 的子集族。若 $\mathcal{A}$ 满足：

1. $X \in \mathcal{A}$；
2. 对补封闭：$A \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c \in \mathcal{A}$；
3. 对可数并封闭：$A_n \in \mathcal{A}\ (n\in\mathbb{N}) \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$，

则称 $\mathcal{A}$ 为 $X$ 上的 σ-代数。此时 $(X,\mathcal{A})$ 称为可测空间，$\mathcal{A}$ 的元素称为可测集。

性质

• 对可数交也封闭：由 De Morgan 法则，$A_n \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$；有限并、有限交、差集、对称差均封闭
• $\varnothing \in \mathcal{A}$（$X$ 之补）
• 生成：对任意集族 $\mathcal{F}$，存在包含 $\mathcal{F}$ 的最小 σ-代数，记作 $\sigma(\mathcal{F})$，称为由 $\mathcal{F}$ 生成的 σ-代数
• Borel σ-代数：$\mathbb{R}$（或 $\mathbb{R}^n$）上由全体开集生成的 σ-代数记作 $\mathcal{B}$，其元素称为 Borel 集；实分析与泛函分析默认在此结构上讨论

示例

• 平凡 σ-代数：$\{\varnothing, X\}$
• 幂集 $\mathcal{P}(X)$：一切子集均可测，配合计数测度
• Borel σ-代数 $\mathcal{B}$；Lebesgue 可测集族 $\mathcal{L}$（见可测集）也是 σ-代数，且 $\mathcal{B} \subsetneq \mathcal{L}$

应用

• 测度定义在 σ-代数上：可数可加性恰需要可数并封闭；外测度经 Carathéodory 条件筛出的可测集族自动构成 σ-代数
• 可测函数、Lebesgue 积分与 $L^p$ 空间全部建立在该结构之上
• Borel σ-代数支撑谱测度等泛函分析对象（自伴算子的谱分解以 Borel 集上的投影值测度表述）