随机过程被认为是概率论的"动力学"部分。意思是说，他的研究对象是随时间演变的随机现象。对于这种现象，一般来说，人们已经不能用随机变量或多为随即变量来合理地表达，而需要用一组(无限多个)随机变量来描述。

示例

• 热噪声电压

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随机过程用来描述一个随时间或空间演变的随机现象。随机过程就是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于某个参数（通常是时间或空间）。随机过程常用于概率论、统计学以及许多工程和科学领域。

定义

设 $T$ 是一个参数集合（如时间或空间），$X(t)$ 是定义在 $T$ 上的随机变量，则随机过程可以表示为：

$${X(t):t∈T}\{X(t) : t \in T\}$$

其中：

• $T$ 是参数空间，表示时间或空间的取值范围（例如 $T = \mathbb{R}^+$ 表示非负实数时间）。
• $X(t)$ 是定义在某个概率空间上的随机变量，$t$ 是自变量。 随机过程中的每个时刻 $t$，随机变量 $X(t)$ 都有一个特定的分布。

分类

随机过程可以按照不同的标准分类：

按参数类型

1. 离散参数随机过程：参数 $T$ 是离散的，例如 $T = \mathbb{Z}^+$。
2. 连续参数随机过程：参数 $T$ 是连续的，例如 $T = \mathbb{R}^+$。

按状态空间

1. 离散状态随机过程：$X(t)$ 的值是离散的，例如马尔可夫链。
2. 连续状态随机过程：$X(t)$ 的值是连续的，例如布朗运动。

按时间性质

1. 平稳过程：统计性质（如均值和方差）随时间不变。
2. 非平稳过程：统计性质随时间变化。

按独立性

1. 独立增量过程：过程的增量彼此独立，例如泊松过程。
2. 非独立增量过程：过程的增量不独立，例如某些马尔可夫过程。

常见随机过程

1. 布朗运动（Wiener过程）：描述粒子在液体中的随机运动，是连续时间和连续状态随机过程的典型例子。
2. [[泊松过程]]：描述稀疏事件在时间上的分布，具有独立增量的性质。
3. 马尔可夫过程：未来的状态仅依赖当前状态，而与过去状态无关。
4. 平稳随机过程：统计性质不随时间变化。

应用

1. 金融学：用于建模股票价格（如几何布朗运动）。
2. 物理学：研究粒子的热运动、扩散过程。
3. 工程：信号处理中的噪声分析、通信系统中的数据建模。
4. 生物学：基因扩散、人口增长建模。