连续性

设函数$y=f(x)$z在点$x_{0}$的某一邻域内有定义, 如果

$$\lim_{ \Delta x \to 0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0$$

则函数在点$x_0$连续

间断点

通常把间断点分为两类：

1. 第一类间断点: 间断点$x_{0}$的左右极限$f(x_{0}^-)$, $f(x_{0}^+)$存在
   • 可去间断点
   • 跳跃间断点
2. 第二类间断点: 不是第一类的间断点的任何间断点
   • 无穷间断点
   • 振荡间断点

连续函数的运算

1. 在任意点$x_{0}$, 连续函数的初等运算仍然连续
2. 反函数在对应区间仍然连续
3. 复合函数在构成函数的连续点仍然连续
4. 一切初等函数在其定义域内连续

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闭区间上连续函数的性质

有界性

闭区间的连续函数在该区间内有界, 且能取得最值

零点定理

$f(x)$在$[a,b]$连续, 且$f(a)\cdot f(b<0)$, 则$(a,b)$内至少有一点$\xi$, $f(\xi)=0$
由此可推得更一般性的介值定理

介值定理

$f(x)$在$[a,b]$连续, 则区间$(f(a),f(b))$内任意一点$C=f(\xi)$, $(a,b)$内至少有一点$\xi$与之对应, 使得$f(\xi)=C$

一致连续

设$f(x)$在区间$I$上有定义, 如果对于任意给定的正数$\epsilon$, 总存在正数$\delta$ 使得区间$I$上任意两点$x1$,$x2$, 当$|x1-x2|<\delta$时, 有

$$|f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon$$

则称函数$f(x)$在区间$I$上一致连续

一致连续定理

如果函数$f(x)$z在闭区间$[a,b]$l连续, 则它在该区间一致连续