秩和检验

秩和检验概述

秩和检验（Rank Sum Test），通常指的是曼-惠特尼U检验（Mann-Whitney U Test），是一种用于检验两个独立样本是否来自同一总体的非参数统计方法。在统计学中，非参数方法不依赖于数据的具体分布形式，适用于样本数据不满足正态分布的情况。

工作原理

秩和检验的基本思想是将两组数据合并后进行排序，每个数据点在排序中的位置称为“秩”（Rank）。检验的目的是比较两组数据在秩次上的差异是否显著，以此判断两个独立样本的分布是否有显著差异。

实施步骤

1. 合并与排序：将两个样本合并为一个数据集，按照数值大小进行排序。
2. 计算秩和：分别为两个样本中的每个数据分配秩次，然后计算每个样本的秩和。
3. 统计量计算：利用秩和计算统计量，如Mann-Whitney U统计量。
4. 显著性检验：通过查表或计算P值，判断统计量的显著性，从而判断两组数据是否有显著差异。

应用场景

秩和检验广泛应用于医学、生物学和社会科学等领域，尤其适用于样本量较小或数据不符合正态分布的情况。它是比较两个独立样本差异的一种常用方法。

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我们可以通过一个简单的例子来演示如何进行秩和检验，即曼-惠特尼U检验。假设我们有两组人员，一组接受了某种训练，另一组没有接受训练，我们要检验这两组人在某项技能上是否存在显著差异。

示例数据

• 组A（受过训练）：

$$18, 20, 22, 20, 25$$

• 组B（未受训练）：

$$15, 17, 19, 16, 18$$

步骤1：合并与排序

首先将两组数据合并，并进行排序（同时保留原始组别标签）：

原始数据	组别
15	B
16	B
17	B
18	A
18	B
19	B
20	A
20	A
22	A
25	A

步骤2：分配秩次

接着给每个数据分配一个秩次。如果存在相同的数值（如18出现两次），则将这些数值的秩次取平均：

原始数据	组别	秩次
15	B	1
16	B	2
17	B	3
18	A	4.5
18	B	4.5
19	B	6
20	A	7.5
20	A	7.5
22	A	9
25	A	10

步骤3：计算秩和

• 秩和A $W_A$：$4.5 + 7.5 + 7.5 + 9 + 10 = 38.5$
• 秩和B $W_B$：$1 + 2 + 3 + 4.5 + 6 = 16.5$

步骤4：使用统计量和显著性检验

使用秩和计算曼-惠特尼U统计量。公式为：

$$U = n_1 \times n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - W_A$$

其中，$n_1$ 和 $n_2$ 分别是两个样本的大小（这里都是5）。

$$U = 5 \times 5 + \frac{5 \times 6}{2} - 38.5 = 25 + 15 - 38.5 = 1.5$$

我们需要查表或计算P值来决定是否拒绝原假设。一般情况下，如果U值小于临界U值，或者P值小于显著性水平（通常是0.05），则拒绝原假设，认为两组存在显著差异。

本例有并列值，不能直接套用假定无并列值的精确 U 表。以组标签可交换为前提，在合并后的 10 个观测中枚举 $\binom{10}{5}=252$ 种等可能分组。固定上述平均秩，令 $U_A=W_A-15=23.5$，$U_B=25-U_A=1.5$。以 $|U_A-12.5|$ 为双侧极端性统计量，有 6 种分组达到或超过观测值 11，故精确条件 p 值为 $6/252\approx0.02381$，在 0.05 水平拒绝两组分布相同的假设。

并列观测仍是不同的观测单位，枚举时不能把数值相同的标签分配合并后当作等可能。使用软件时须核对其双侧定义、并列秩校正及精确/渐近算法；这些选择可能给出不同数值。

假设与结论边界

标准秩和检验要求两组独立、组内独立同分布；置换校准依赖零假设下的标签可交换性。它对有序位置差异敏感，不是能检测所有分布差异的万能检验。只有再加上共同形状的位置平移模型等条件，才能把结论解释为位置或中位数差异。配对数据应考虑配对设计下的符号秩检验等方法，不能当作两个独立样本。训练组与对照组的分布差异本身也不证明训练的因果作用。