t检验是一种用于比较样本均值和已知总体均值或两个样本均值之间差异的统计方法，特别适用于样本量较小（通常$n<30$）且总体标准差未知的情况。

Tip

t检验是对称的, 双边检测可以采用对称的 $\alpha/2$ 划分置信区间

t检验的类型

1. 单样本t检验：用于检验一个样本的均值是否等于已知总体均值。
2. 独立样本t检验：用于检验两个独立样本的均值是否有显著差异。
3. 配对样本t检验：用于检验同一组样本在不同条件下的均值是否有显著差异。

---

单样本t检验

设定假设

• 零假设（H₀）：样本均值等于总体均值。
• 备择假设（H₁）：样本均值不等于总体均值。

选择显著性水平

通常设定为0.05或0.01。

计算t值

$$t(n-1) = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{X}$ 是样本均值。
• $\mu_0$ 是总体均值。
• $s$ 是样本标准差。
• $n$ 是样本量。

查找临界值

根据自由度 $df = n - 1$ 和显著性水平α，从t分布表中查找临界值$t(n-1)_\alpha$

比较t值与临界值

• 如果 $|t| \leq t(n-1)_\alpha$，则接受零假设（H₀）。
• 如果 $|t| > t(n-1)_\alpha$，则拒绝零假设（H₀）。

---

独立样本t检验

步骤1：设定假设

• 零假设（H₀）：两个独立样本的均值相等。
• 备择假设（H₁）：两个独立样本的均值不相等。

步骤2：选择显著性水平（α）

通常设定为0.05或0.01。

步骤3：计算t值

$$t = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$$

其中：

• $\bar{X_1}$ 和 $\bar{X_2}$ 分别是两个样本的均值。
• $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 分别是两个样本的方差。
• $n_1$ 和 $n_2$ 分别是两个样本的样本量。

步骤4：查找临界值

根据自由度 $df = n_1 + n_2 - 2$ 和显著性水平α，从t分布表中查找临界值。

步骤5：比较t值与临界值

• 如果 $|t| \leq \text{临界值}$，则不拒绝零假设（H₀）。
• 如果 $|t| > \text{临界值}$，则拒绝零假设（H₀）。

---

配对样本t检验

步骤1：设定假设

• 零假设（H₀）：配对样本的均值差为零。
• 备择假设（H₁）：配对样本的均值差不为零。

步骤2：选择显著性水平（α）

通常设定为0.05或0.01。

步骤3：计算t值

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{d}$ 是差值的均值。
• $s_d$ 是差值的标准差。
• $n$ 是配对样本的数量。

步骤4：查找临界值

根据自由度 $df = n - 1$ 和显著性水平α，从t分布表中查找临界值。

步骤5：比较t值与临界值

• 如果 $|t| \leq \text{临界值}$，则不拒绝零假设（H₀）。
• 如果 $|t| > \text{临界值}$，则拒绝零假设（H₀）。

---

图例

t检验的双边假设

![[file-udxeUcFDMIFzlZhrDskJeizD.webp]]

t检验的单边假设 ![[file-1MW7XOlXR0Aol1SfQvMwivRL.webp]]