F检验

F 检验是一类在零假设及相应模型条件下以 F分布 校准的检验。方差比检验比较两个总体方差；ANOVA 检验多个均值；多元线性回归 中的 F 检验可检验一组回归系数。

Tip

F 分布不对称，但双侧方差比检验可以把两尾概率各分配 $\alpha/2$；两个临界值的数值不关于零或 1 对称。ANOVA 检验均值相等则使用上尾拒绝域。

1. 方差分析（ANOVA）

假设各组观测相互独立，组内正态且各组总体方差相同。设组数为 $k$、总样本数为 $N$，$F=MS_{\mathrm{between}}/MS_{\mathrm{within}}$，在零假设下服从 $F(k-1,N-k)$。

步骤1：设定假设

• 零假设（H₀）：所有组的均值相等。
• 备择假设（H₁）：至少有一组的均值不同。

步骤2：选择显著性水平（α）

通常设定为0.05或0.01。

步骤3：计算F值

$$F=\frac{MS_{\mathrm{between}}}{MS_{\mathrm{within}}}=\frac{SS_{\mathrm{between}}/(k-1)}{SS_{\mathrm{within}}/(N-k)}.$$

步骤4：查找临界值

根据自由度 $df_1$（组间自由度）和 $df_2$（组内自由度）以及显著性水平α，从F分布表中查找临界值。

步骤5：比较F值与临界值

• 如果 $F \leq \text{临界值}$，则不拒绝零假设（H₀）。
• 如果 $F > \text{临界值}$，则拒绝零假设（H₀）。

2. 方差齐性检验

以下针对两组相互独立的正态简单随机样本，$n_1,n_2\ge2$。固定分子为第 1 组样本方差，不能观察后换成较大者而仍沿用原临界值。

步骤1：设定假设

• 零假设（H₀）：两个总体的方差相等。
• 备择假设（H₁）：两个总体的方差不相等。

步骤2：选择显著性水平（α）

通常设定为0.05或0.01。

步骤3：计算F值

$$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$$

其中：

• $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 分别是两组样本方差。

步骤4：查找两个临界值

记上尾临界值 $F_{\alpha;\nu_1,\nu_2}$ 满足 $P(F>F_{\alpha;\nu_1,\nu_2})=\alpha$。令 $\nu_i=n_i-1$，取

$$L=F_{1-\alpha/2;\nu_1,\nu_2},\qquad U=F_{\alpha/2;\nu_1,\nu_2}.$$

可用倒数关系 $L=1/F_{\alpha/2;\nu_2,\nu_1}$ 查上尾表，注意交换自由度。

步骤5：比较统计量

若 $F<L$ 或 $F>U$，拒绝 $H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$；否则不拒绝。只检查上尾会漏掉第 1 组方差显著较小的情形。