z检验是一种用于检验样本均值与已知总体均值之间是否存在显著差异的统计方法. z检验特别适用于样本量较大 (通常 n > 30) 且总体标准差已知的情况, 或者样本量足够大使得样本方差近似总体方差

条件

• 样本量较大 (通常 n > 30) .
• 总体标准差已知.
• 样本数据近似正态分布.

步骤

设定假设

设定零假设 (H₀) 和备择假设 (H₁) :

• 零假设 (H₀) : $\mu = \mu_0$
• 备择假设 (H₁) (双侧) : $\mu \neq \mu_0$
• 备择假设 (H₁) (单侧) : $\mu > \mu_0$ 或 $\mu < \mu_0$

选择显著性水平

通常取$\alpha=0.05$或$\alpha=0.01$, 由题目要求给出.

计算z值

$$z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$

其中:

• $\bar{X}$ : 样本均值
• $\mu_0$ : 总体均值
• $\sigma$ : 总体标准差
• $n$ : 样本量

查找临界值

根据显著性水平$\alpha$和检验类型 (单侧或双侧) , 查找标准正态分布 (z分布) 中的临界值$z(\alpha)$. 如:

• 双侧检验: 对于α = 0.05, 临界值为 $\pm 1.96$.
• 单侧检验: 对于α = 0.05, 临界值为 $1.645$ (右侧检验) 或 $-1.645$ (左侧检验) .

比较z值与临界值

• 双侧检验: 如果 $|z| \leq z(\alpha)$, 则接受零假设 (H₀) .
• 单侧检验: 如果 $z \leq z(\alpha)$ 或 $z \geq z(\alpha)$, 则接受零假设 (H₀) .

示例

设定条件

• 样本均值 $\bar{X} = 130$
• 总体均值 $\mu_0 = 120$
• 总体标准差 $\sigma = 15$
• 样本量 $n = 50$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$

计算z值

$$z = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{50}} = \frac{10}{2.121} \approx 4.71$$

查找临界值

对于双侧检验, $\alpha = 0.05$, 临界值为 $\pm 1.96$.

比较z值与临界值

• 计算的z值: 4.71
• 临界值: $\pm 1.96$

因为 $4.71 > 1.96$, 样本均值与总体均值之间存在显著差异, 所以拒绝零假设 (H₀) .