样本容量的选取

在给定的显著水平 $\alpha$ 与检验功效（$1-\beta$）下，确定满足精度要求的最小样本量 $n$。样本量过小则功效不足，过大则浪费资源。

均值检验的样本量

设检验 $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu = \mu_1$（$\mu_1 \neq \mu_0$），总体方差 $\sigma^2$ 已知。欲使两类错误概率分别为 $\alpha, \beta$，所需样本量

$$n = \frac{(z_{\alpha/2} + z_\beta)^2 \sigma^2}{(\mu_1 - \mu_0)^2}$$

其中 $z_{\alpha/2}, z_\beta$ 为标准正态分布分位数，$\Delta = |\mu_1 - \mu_0|$ 为可检测的最小差异（效应量）。

影响样本量的因素

因素	增大方向
显著性水平 $\alpha$ 更小	$n$ 增大
功效 $1-\beta$ 更高	$n$ 增大
效应量 $\Delta$ 更小	$n$ 增大
总体方差 $\sigma^2$ 更大	$n$ 增大
单侧 vs 双侧检验	双侧需要更大 $n$

区间估计视角

估计正态总体均值 $\mu$，要求置信水平 $1-\alpha$ 下误差不超过 $d$：

$$n \ge \left(\frac{z_{\alpha/2}\, \sigma}{d}\right)^2$$

通用原则

• 样本量公式常需先估计 $\sigma^2$（用历史数据或预实验）
• 方差未知时用 $t$ 分布分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 代替 $z_{\alpha/2}$，公式需迭代求解
• 实际中还可借助功效分析软件（G*Power 等）计算