对正态总体方差的假设检验是另一种常见的统计方法，用于判断样本方差是否能提供关于总体方差的某个特定假设的支持。这种检验在质量控制、风险管理和科学研究等领域中尤为重要，特别是当数据的波动性或一致性是关注的焦点时。

基本概念

1. 假设：

   • 零假设（$H_0$）：通常认为总体方差等于某个特定值 $\sigma_0^2$。
   • 备择假设（$H_a$）：与零假设相对，如认为总体方差不等于 $\sigma_0^2$，或大于、小于 $\sigma_0^2$。

2. 统计量：

   • 使用基于样本方差的卡方（Chi-squared, $\chi^2$）分布的统计量：$$ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_02} $$ 其中，$s^2$ 是样本方差，$n$ 是样本大小，$\sigma_0^2$ 是假设的总体方差。

假设检验流程

1. 设定假设和选择检验类型：

   • 设置零假设 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ 和备择假设（如 $H_a: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$，$\sigma^2 > \sigma_0^2$，或 $\sigma^2 < \sigma_0^2$）。
   • 根据备择假设选择单侧或双侧检验。

2. 计算统计量：

   • 根据上述公式计算 $\chi^2$ 值。

3. 确定拒绝域：

   • 根据显著性水平 $\alpha$ 和所选的检验类型，决定临界值（查卡方分布表）。

4. 计算P值：

   • 比较统计量与临界值或直接计算P值以决定是否拒绝零假设。

5. 作出结论：

   • 如果P值小于或等于显著性水平，拒绝零假设，认为有足够证据支持备择假设。
   • 如果P值大于显著性水平，不拒绝零假设。

示例

假设一个生产线上，机器生产的零件重量的方差不应超过4平方克（假设单位为克）。从生产线上随机抽取了30个零件，计算得到样本方差为5平方克。检验这是否显著高于规定的方差。

设定：

• $H_0: \sigma^2 = 4$
• $H_a: \sigma^2 > 4$
• 使用单侧检验，$\alpha = 0.05$

计算：

$$\chi^2 = \frac{29 \times 5}{4} = 36.25$$

查卡方分布表，自由度为29，显著性水平0.05的临界值约为42.56。计算得到的$\chi^2$值36.25小于42.56。

结论：

• 不拒绝零假设，即没有足够的证据认为生产线上的零件重量方差显著高于4平方克。

与均值假设检验的区别

1. 统计量不同：均值检验通常使用t统计量或z统计量，而方差检验使用$\chi^2$统计量。
2. 分布不同：均值检验依赖于t分布或正态分布，方差检验则依赖于卡方分布。
3. 目的和应用不同：均值检验用于比较数据集的中心趋势是否与假定的总体均值一致，而方差检验用于评估数据的波动程度或一致性是否符合预期。

这两种检验虽然都旨在评估样本与某个理论值之间的差异，但它们关注的统计属性（均值与方差）以及使用的方法和理论基础有所不同，适用于解决不同类型的实际问题。