置信区间与假设检验之间的关系

区间估计与假设检验是统计推断的两种形式，它们在数学结构上存在对偶关系。

对偶原理

设 $\theta$ 为总体参数，置信水平 $1-\alpha$ 的置信区间 $(\underline{\theta}, \overline{\theta})$ 与显著性水平 $\alpha$ 的双侧检验之间存在一一对应：

• 若假设 $H_0: \theta = \theta_0$ 在水平 $\alpha$ 下不被拒绝，当且仅当 $\theta_0$ 落在 $1-\alpha$ 置信区间内。
• 置信区间是从"接受域"反解出的参数范围：对每个可能的 $\theta_0$，其接受域 $\{A(\theta_0)\}$ 满足

$$P_{\theta_0}\{\theta_0 \in (\underline{\theta}, \overline{\theta})\} = 1-\alpha$$

直观理解

• 置信区间回答："参数可能在哪里"（估计视角）
• 假设检验回答："参数是否等于某值"（决策视角）
• 两者是同一数据的两种呈现：接受 $H_0$ ⇔ 该值在置信区间内；拒绝 $H_0$ ⇔ 该值在置信区间外

单侧情形

• 单侧置信区间（$\theta < \overline{\theta}$）对应单侧检验 $H_0: \theta \le \theta_0$
• 置信下限/上限分别对应左边/右边检验

应用意义

1. 检验结果可反推置信区间，反之亦然，无需重复计算
2. 置信区间还提供效应大小信息（区间宽窄），是对检验不足（仅给出"是否拒绝"）的补充
3. 多重比较中，利用置信区间可直观看出哪些组间差异显著