z检验

z检验是一种用于检验样本均值与已知总体均值之间是否存在显著差异的统计方法. 对正态独立样本且总体标准差已知，均值 z 检验是精确的，不要求大样本。非正态总体的正态近似需额外条件，不能仅凭 n > 30。

条件

• 精确情形：样本独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$，已知 $\sigma>0$。
• 渐近情形：如独立同分布、有限非零方差，并有合适的样本量支撑中心极限定理近似；未知方差时需一致估计标准误。

步骤

设定假设

设定零假设 (H₀) 和备择假设 (H₁) :

• 零假设 (H₀) : $\mu = \mu_0$
• 备择假设 (H₁) (双侧) : $\mu \neq \mu_0$
• 备择假设 (H₁) (单侧) : $\mu > \mu_0$ 或 $\mu < \mu_0$

选择显著性水平

通常取$\alpha=0.05$或$\alpha=0.01$, 由题目要求给出.

计算z值

$$z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$

其中:

• $\bar{X}$ : 样本均值
• $\mu_0$ : 总体均值
• $\sigma$ : 总体标准差
• $n$ : 样本量

查找临界值

根据显著性水平$\alpha$和检验类型 (单侧或双侧) , 按上尾约定 $P(Z>z_\alpha)=\alpha$ 查标准正态分布临界值；双侧取 $z_{\alpha/2}$. 如:

• 双侧检验: 对于α = 0.05, 临界值为 $\pm 1.96$.
• 单侧检验: 对于α = 0.05, 临界值为 $1.645$ (右侧检验) 或 $-1.645$ (左侧检验) .

比较z值与临界值

• 双侧：$|z|>z_{\alpha/2}$ 时拒绝。
• 右侧备择 $\mu>\mu_0$：$z>z_\alpha$ 时拒绝。
• 左侧备择 $\mu<\mu_0$：$z<-z_\alpha$ 时拒绝。
• 其余情况均为不拒绝，不表示原假设已经证实。

示例

设定条件

• 样本均值 $\bar{X} = 130$
• 总体均值 $\mu_0 = 120$
• 总体标准差 $\sigma = 15$
• 样本量 $n = 50$
• 显著性水平 $\alpha = 0.05$

计算z值

$$z = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{50}} = \frac{10}{2.121} \approx 4.71$$

查找临界值

对于双侧检验, $\alpha = 0.05$, 临界值为 $\pm 1.96$.

比较z值与临界值

• 计算的z值: 4.71
• 临界值: $\pm 1.96$

因为 $4.71 > 1.96$, 样本均值与总体均值之间存在显著差异, 所以拒绝零假设 (H₀) .