正交基（泛函分析）

有限维空间中任意向量可写成基的线性组合；无穷维内积空间中，可数正交规范基让每个向量展开为收敛级数——这正是 Fourier 级数的一般化：函数按标准正交系展开。

正交基

希尔伯特空间 $H$ 的正交规范系 $\{e_n\}$ 称为正交基（Hilbert 基），若其张成的线性子空间在 $H$ 中稠密。此时每个 $x\in H$ 有唯一展开 $x=\sum_n \langle x,e_n\rangle e_n$，系数 $\langle x,e_n\rangle$ 称为 Fourier 系数。

• Bessel 不等式：$\sum_n|\langle x,e_n\rangle|^2\le\|x\|^2$
• Parseval 恒等式：$\sum_n|\langle x,e_n\rangle|^2=\|x\|^2$（$e_n$ 是正交基 $\iff$ Parseval 恒等式对一切 $x$ 成立 $\iff$ 只有零向量正交于所有 $e_n$）

性质

• 可分希尔伯特空间必有可数正交基，见可分希尔伯特空间
• 正交基给出的坐标映射是到 $\ell^2$（或 $\mathbb{C}^n$）的等距同构
• 有限维的 Gram–Schmidt 正交化过程仍适用，见线性代数中的施密特正交化与规范正交基

后续

经典例子是 $L^2[0,2\pi]$ 上三角函数系 $\{e^{int}/\sqrt{2\pi}\}$ 构成正交基，展开即傅里叶级数；这是傅里叶变换与调和分析的起点。