规范正交基是指在一个内积空间中，由一组规范正交向量构成的基。这组向量不仅两两正交，而且每个向量的范数均为1。规范正交基使得向量的表示、投影和变换都变得更加简洁和易于计算。

定义

在内积空间$V$中，设$\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$是一组向量。如果满足以下条件：

1. 对于任意的$i \neq j$，有$e_i \cdot e_j = 0$（正交性）
2. 对于任意的$i$，有$\| e_i \| = 1$（规范性）

则称$\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$为$V$的一组规范正交基。

性质

1. 向量的表示

在规范正交基$\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$下，任意向量$v \in V$可以唯一地表示为

$$v = c_1 e_1 + c_2 e_2 + \cdots + c_n e_n$$

其中，系数$c_i$可以通过内积计算得到：

$$c_i = v \cdot e_i$$

2. 内积的计算

如果$u$和$v$是两个向量，且它们在规范正交基$\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$下的表示分别为

$$u = \sum_{i=1}^n a_i e_i, \quad v = \sum_{i=1}^n b_i e_i$$

则$u$和$v$的内积为

$$u \cdot v = \sum_{i=1}^n a_i b_i$$

3. 投影的计算

向量$v$在规范正交基$\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$张成的子空间上的投影为

$$v_{\text{proj}} = \sum_{i=1}^n (v \cdot e_i) e_i$$

规范正交化过程

将任意向量组转换为规范正交基的过程称为Gram-Schmidt正交化过程。其步骤如下：

1. 设$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$是原始向量组。
2. 初始化$u_1 = v_1$。
3. 对于$k = 2, 3, \ldots, n$，进行以下操作：
   • 计算$u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{u_j} v_k$，其中$\text{proj}_{u_j} v_k$表示$v_k$在$u_j$方向上的投影。
   • 归一化$u_k$得到$e_k = \frac{u_k}{\| u_k \|}$。

最终得到的向量组$\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$即为规范正交基。

应用

1. 数值线性代数：如QR分解和SVD分解。
2. 信号处理：如傅里叶变换和小波变换。
3. 量子力学：如描述量子态的正交基。
4. 数据分析：如主成分分析（PCA）。