黎曼曲率张量

二阶导数的次序在弯曲空间不再可交换：$\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X$ 的非零部分正是"空间弯曲"的定量刻画。黎曼曲率张量是黎曼几何的核心不变量，截面曲率、Ricci 曲率、数量曲率都从它收缩而来。

需先掌握协变导数与平行移动。

定义

联络 $\nabla$ 的曲率算子（黎曼曲率张量）：

$$R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z$$

坐标分量 $R^i{}_{jkl}$ 满足

$$R(\partial_k,\partial_l)\partial_j=R^i{}_{jkl}\,\partial_i$$

性质

• 张量性：$R$ 对每个槽位都是 $C^\infty$ 线性的，与坐标选取无关
• 配对 $R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W)$ 满足：
  • 反对称：$R(X,Y,Z,W)=-R(Y,X,Z,W)=-R(X,Y,W,Z)$
  • 对换对称：$R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)$
• 第一 Bianchi 恒等式：$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$
• 第二 Bianchi 恒等式：$\nabla_X R(Y,Z)+\nabla_Y R(Z,X)+\nabla_Z R(X,Y)=0$

几何意义

沿以 $p$ 为顶点、由 $X,Y$ 张成的无穷小平行四边形平行移动一周，向量 $Z$ 的净变化由 $R(X,Y)Z$ 给出（乘以面积元）。这是"平行移动依赖路径"的无穷小版本。

示例

• 平坦空间：$R=0$（如 $\mathbb{R}^n$）
• 常曲率 $c$ 空间：$R(X,Y)Z=c\big(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y\big)$

应用

收缩 $R$ 得到截面曲率、Ricci曲率与数量曲率；Bianchi 恒等式是广义相对论中 Einstein 张量散度为零的基础。