Ricci曲率

截面曲率太多时，沿每个方向求平均就得到 Ricci 曲率：它刻画"沿某个方向的小球体积如何被曲率改变"，是联系几何与分析（体积比较）以及广义相对论的关键量。

需先掌握黎曼曲率张量与截面曲率。

定义

Ricci 张量是黎曼曲率张量的迹：

$$\operatorname{Ric}(X,Y)=\operatorname{tr}\big(Z\mapsto R(Z,X)Y\big)$$

对规范正交基 $\{e_1,\dots,e_n\}$：

$$\operatorname{Ric}(X,Y)=\sum_{i=1}^n g(R(e_i,X)Y,e_i)$$

坐标分量 $\operatorname{Ric}_{ij}=R^k{}_{ikj}$。

性质

• 对称：$\operatorname{Ric}(X,Y)=\operatorname{Ric}(Y,X)$（$(0,2)$ 型对称张量）
• 平均解释：对单位向量 $v$，$\operatorname{Ric}(v,v)=\sum_{i=2}^n K(v,e_i)$，即含 $v$ 的二维平面截面曲率之和
• 爱因斯坦流形：$\operatorname{Ric}=\lambda g$（$\lambda$ 常数），如球面、双曲空间

示例

• 单位球面 $S^n$：$\operatorname{Ric}=(n-1)g$
• 双曲空间 $\mathbb{H}^n$：$\operatorname{Ric}=-(n-1)g$
• 平坦空间：$\operatorname{Ric}=0$

应用

• 体积比较：$\operatorname{Ric}\ge 0$ 时小测地球体积不超过欧氏球（体积比较定理）
• Bonnet–Myers 定理：$\operatorname{Ric}\ge (n-1)k>0$ 推出直径 $\le \pi/\sqrt{k}$，流形紧
• 广义相对论：爱因斯坦场方程以 Ricci 张量为核心（见数量曲率）