Chern-Gauss-Bonnet定理

把曲面的Gauss-Bonnet定理推广到任意偶数维紧流形：Euler 示性数等于曲率形式 Pfaffian 的积分。它是"曲率决定拓扑"最著名的整体定理。

需先掌握Gauss-Bonnet定理与黎曼曲率张量；高维推广依赖曲率形式的构造，见Chern-Weil理论。

定理

对 $2m$ 维紧定向黎曼流形 $M$，

$$\chi(M)=\frac{1}{(2\pi)^m}\int_M\operatorname{Pf}(\Omega)$$

其中 $\Omega$ 为 Levi-Civita 联络的曲率形式，$\operatorname{Pf}$ 为 Pfaffian；$m=1$ 时回到

$$\chi(S)=\frac{1}{2\pi}\int_S K\,\mathrm{d}A$$

推论

• 曲率的积分是拓扑不变量：局部改变度量不改变 $\chi$
• 对 $S^4$，$\chi=2$，故 $\int_{S^4}\operatorname{Pf}(\Omega)=8\pi^2$
• 奇维流形无此直接对应，需借助其他示性类

应用

Chern–Gauss–Bonnet 定理是示性类理论的原型，其证明思想（联络与不变多项式）在Chern-Weil理论中推广为陈类与 Pontryagin 类，是现代指标定理（Atiyah–Singer）的几何基础。