正合列

"像恰等于核"是链上精确性的判据：正合列用一串 $\ker$ 与 $\operatorname{im}$ 相等把"逐步消去信息"的过程压缩成一条链，是阿贝尔范畴中表述"子对象—商对象"关系的标准语言。

需先掌握阿贝尔范畴、核与余核与函子。

定义

阿贝尔范畴中的序列 $\cdots\to A_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}}A_n\xrightarrow{d_n}A_{n-1}\to\cdots$ 在 $A_n$ 处正合（exact），若 $\operatorname{im}(d_{n+1})=\ker(d_n)$。若处处正合，称该序列为正合列。短正合列（short exact sequence）形如

$$0\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to 0$$

即 $f$ 是单态射、$g$ 是满态射且 $\operatorname{im}f=\ker g$。

性质

• $0\to A\to B$ 正合 $\iff$ $A\to B$ 是单态射；$B\to C\to 0$ 正合 $\iff$ 是满态射
• 分裂：短正合列分裂（存在 $s:C\to B$ 使 $g\circ s=\mathrm{id}_C$，等价于存在 $r:B\to A$ 使 $r\circ f=\mathrm{id}_A$）$\iff$ $B\cong A\oplus C$（见双积）
• 对任一态射 $f$，$0\to\ker f\to A\to\operatorname{im}(f)\to 0$ 与 $0\to\operatorname{im}(f)\to B\to\operatorname{coker}f\to 0$ 都是短正合列

例子

• $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 2}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\to 0$ 是 $\mathbf{Ab}$ 中正合但不分裂的短正合列
• $0\to\mathbb{Z}/2\to\mathbb{Z}/4\to\mathbb{Z}/2\to 0$ 正合但不分裂；$0\to\mathbb{Z}/2\to\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2\to\mathbb{Z}/2\to 0$ 正合且分裂
• $\mathbf{Vect}_k$ 中每个短正合列都分裂（$B\cong A\oplus C$）

应用

函子的正合性用短正合列的像定义左/右正合；蛇引理与五引理处理带正合行的交换图；长正合序列（见导出函子）是同调代数与代数拓扑的核心工具。