投射对象与内射对象

自由模之所以好用，是因为同态可以沿满射"提升"；投射对象把这条性质抽象出来，内射对象是它的对偶。它们是构造消解（resolution）的砖块，也是导出函子定义的原料。

需先掌握函子的正合性、正合列与阿贝尔范畴。

定义

对象 $P$ 称为投射（projective），若 $\mathrm{Hom}(P,-)$ 正合：对任意满态射 $g:B\to C$ 与 $f:P\to C$，存在提升 $\bar f:P\to B$ 使 $g\circ\bar f=f$。对象 $I$ 称为内射（injective），若 $\mathrm{Hom}(-,I)$ 正合：对任意单态射 $i:A\to B$ 与 $f:A\to I$，存在扩张 $\bar f:B\to I$ 使 $\bar f\circ i=f$。

性质

• 若每个对象 $A$ 都有满态射 $P\to A$（$P$ 投射），称范畴有足够多投射；若每个对象可单嵌入某内射对象，称有足够多内射
• $R\text{-}\mathbf{Mod}$：投射 $=$ 自由模的直和项；内射由 Baer 判别法判定（沿环的每个左理想提升）
• $\mathbf{Ab}$：投射 $=$ 自由交换群；内射 $=$ 可除群（如 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$）
• 投射对象的直和项仍投射；内射对象的直和项仍内射

例子

• $R$ 作为左 $R$-模是投射的；自由模 $R^{\oplus S}$ 投射
• $\mathbb{Z}/2$ 不是投射 $\mathbb{Z}$-模：满态射 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2$ 无截面（$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z})=0$）
• $\mathbb{Q}$ 是内射 $\mathbb{Z}$-模（可除）但非投射（非自由）

应用

导出函子用投射消解（左导出）与内射消解（右导出）定义；$\mathrm{Ext}$、$\mathrm{Tor}$（见Ext与Tor）与群上同调、层上同调都以足够多的投射/内射对象为前提。