阿贝尔范畴

模可以取核、像、商，且"单射 = 核、满射 = 余核"成立——阿贝尔范畴把这些性质抽象为公理，使同调代数（正合列、导出函子）在比模更广的范畴（如层）中照样运行。

需先掌握加法范畴与核与余核。

定义

阿贝尔范畴（abelian category）是满足以下公理的加法范畴：

1. 每个态射都有核与余核；
2. 每个单态射是它的余核的核：$m=\ker(\operatorname{coker}m)$；
3. 每个满态射是它的核的余核：$e=\operatorname{coker}(\ker e)$。

性质

• 每个态射 $f$ 有典范分解 $f=m\circ e$，其中 $e:A\to\operatorname{im}(f)$ 是满态射、$m:\operatorname{im}(f)\to B$ 是单态射，$\operatorname{im}(f)=\ker(\operatorname{coker}f)$；分解在唯一同构意义下唯一
• 单态射 $\iff$ 核为 $0$；满态射 $\iff$ 余核为 $0$（见核与余核）
• Freyd–Mitchell 嵌入定理：小阿贝尔范畴可全忠实嵌入某个 $R\text{-}\mathbf{Mod}$，从而允许"元素/图追踪"式论证

例子

• $\mathbf{Ab}$、$R\text{-}\mathbf{Mod}$、$\mathbf{Vect}_k$ 都是阿贝尔范畴
• 阿贝尔群层范畴 $\mathbf{Sh}(X)$、链复形范畴 $\mathbf{Ch}(\mathcal A)$（$\mathcal A$ 阿贝尔）都是阿贝尔范畴
• 拓扑阿贝尔群范畴不是阿贝尔范畴（满态射未必是余核）

应用

正合列、蛇引理、五引理在任意阿贝尔范畴成立；导出函子（含Ext与Tor）以阿贝尔范畴为舞台；代数几何中的层上同调与代数拓扑中的同调理论都在阿贝尔范畴中展开。