加法范畴

要让"核、像、直和"这类代数构造在范畴中成立，首先得让态射能相加：加法范畴把 $\mathrm{Hom}$ 集变成交换群、复合变成双线性运算，从而把线性代数的计算习惯（矩阵、直和）带入范畴论。

需先掌握范畴的定义（对象、态射、复合）与态射的分类（单态射/满态射/同构）。

定义

预加法范畴（preadditive category）是满足以下条件的范畴 $\mathcal{C}$：对任意对象 $A,B$，$\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ 是交换群（加法记为 $+$，单位元称为零态射 $0:A\to B$），且复合是双线性的：$h\circ(f+g)=h\circ f+h\circ g$，$(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h$。

加法范畴（additive category）是带零对象的预加法范畴，且任意两个对象有双积（此时有限积与有限余积重合）。

性质

• 零对象同时是始对象与终对象；零态射由零对象上的恒等态射复合得到
• 有限乘积与有限余积存在且典范同构：$A\oplus B$ 同时是积与余积（见双积）
• $\mathrm{Hom}(A\oplus B,C)\cong\mathrm{Hom}(A,C)\oplus\mathrm{Hom}(B,C)$（加法群的同构）
• 态射可用矩阵表示：$f:A\oplus B\to C\oplus D$ 对应 $\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}$

例子

• $\mathbf{Ab}$（交换群）、$R\text{-}\mathbf{Mod}$（左 $R$-模）、$\mathbf{Vect}_k$（线性空间）都是加法范畴
• 链复形范畴 $\mathbf{Ch}(\mathcal A)$（$\mathcal A$ 加法）是加法范畴
• $\mathbf{Grp}$（非交换群）与 $\mathbf{Top}$ 不是加法范畴：态射集没有自然的群结构

应用

阿贝尔范畴在加法范畴上追加核与余核的公理；核与余核、正合列、导出函子都以加法结构为前提，矩阵表示让模与向量空间的论证直接搬到任意加法范畴。