双积

在线性代数里"直和"同时具备直积（坐标投影）与直和（坐标嵌入）的双重身份；双积把这个双重身份提炼成公理，使加法范畴中的有限乘积与余乘积重合，并支持态射的矩阵表示。

需先掌握乘积与余积与加法范畴（零态射）。

定义

对象 $A,B$ 的双积（biproduct）是对象 $A\oplus B$ 及四个态射

$$p_1:A\oplus B\to A,\quad p_2:A\oplus B\to B,\quad i_1:A\to A\oplus B,\quad i_2:B\to A\oplus B$$

满足 $p_1\circ i_1=\mathrm{id}_A$、$p_2\circ i_2=\mathrm{id}_B$、$p_1\circ i_2=0$、$p_2\circ i_1=0$ 且 $i_1\circ p_1+i_2\circ p_2=\mathrm{id}_{A\oplus B}$。

性质

• $A\oplus B$ 关于投影 $p_1,p_2$ 是乘积，关于嵌入 $i_1,i_2$ 是余积；在预加法范畴中，有限积自动成为余积（反之亦然）
• 态射矩阵运算成立：$f:A\oplus B\to C\oplus D$ 写作 $\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}$，其中 $f_{ij}=p_i\circ f\circ i_j$；复合即矩阵乘法
• 有零对象与二元双积 $\iff$ 有限双积都存在（加法范畴的定义）

例子

• $\mathbf{Ab}$：$A\oplus B$ 即直和（有限个时与直积 $A\times B$ 同构）
• $\mathbf{Vect}_k$：$V\oplus W$ 即直和，投影/嵌入取坐标与坐标嵌入
• $\mathbf{Top}$ 不是加法范畴：积（乘积拓扑）与余积（不交并）不同构

应用

正合列的分裂条件 $B\cong A\oplus C$ 用双积刻画；矩阵表示使线性代数的论证在任意加法范畴中成立，也是研究模结构（直和分解、Krull–Schmidt）的基本工具。