核与余核

"使 $f$ 消失的最大子对象"与"把 $f$ 的像压成零的最小商对象"分别刻画像与商的最一般意义：核与余核是等化子与余等化子在加法范畴中的特例（取 $f$ 与零态射的等化子），也是阿贝尔范畴公理的核心构件。

需先掌握等化子与余等化子与加法范畴（零态射）。

定义

在加法范畴中，$f:A\to B$ 的核（kernel）是态射 $k:K\to A$，满足 $f\circ k=0$，且对任意 $x:X\to A$ 使 $f\circ x=0$，存在唯一 $u:X\to K$ 使 $k\circ u=x$。对偶地，余核（cokernel）是态射 $q:B\to Q$，满足 $q\circ f=0$，且对任意 $y:B\to Y$ 使 $y\circ f=0$，存在唯一 $v:Q\to Y$ 使 $v\circ q=y$。

性质

• 核必是单态射，余核必是满态射
• $f$ 是单态射 $\iff$ $\ker f=0$（零对象到 $A$ 的唯一态射）；$f$ 是满态射 $\iff$ $\operatorname{coker}f=0$
• 在 $\mathbf{Ab}$ 中：$\ker f=\{a\in A:f(a)=0\}$，$\operatorname{coker}f=B/\operatorname{im}(f)$
• 若每个态射都有核与余核，则 $f$ 可分解为 $A\twoheadrightarrow\operatorname{im}(f)\hookrightarrow B$，其中 $\operatorname{im}(f)=\ker(\operatorname{coker}f)$

例子

• $\mathbf{Vect}_k$：$f:V\to W$ 的核 = 线性方程组的解空间，余核 = $W/\operatorname{im}(f)$
• $\mathbf{Grp}$：核 = 通常的核（正规子群）；余核 = 像的正规闭包的商群 $B/\langle\!\langle\operatorname{im}(f)\rangle\!\rangle$
• 链复形：链映射 $f_\bullet$ 的核/余核逐项取（见正合列）

应用

正合列用 $\ker g=\operatorname{im} f$ 定义精确性；阿贝尔范畴要求单态射恰是某态射的核；蛇引理的连接同态恰在核与余核之间建立映射。