五引理

两个正合列之间的垂直映射在多大程度上决定中间对象的比较？五引理回答：只要两端的映射接近同构，中间的映射就是同构——这是同调代数中"比较定理"的典范。

需先掌握正合列与阿贝尔范畴。

定义

设交换图

$$\begin{matrix}A_1&\to&A_2&\to&A_3&\to&A_4&\to&A_5\\ \downarrow\scriptstyle{f_1}&&\downarrow\scriptstyle{f_2}&&\downarrow\scriptstyle{f_3}&&\downarrow\scriptstyle{f_4}&&\downarrow\scriptstyle{f_5}\\ B_1&\to&B_2&\to&B_3&\to&B_4&\to&B_5\end{matrix}$$

两行正合。五引理：若 $f_2,f_4$ 是同构、$f_1$ 是满态射、$f_5$ 是单态射，则 $f_3$ 是同构。

性质

• 逐段版本：若 $f_1$ 满、$f_2,f_4$ 单，则 $f_3$ 单；若 $f_1$ 满、$f_2,f_4$ 满、$f_5$ 单，则 $f_3$ 满
• 短五引理：对短正合列 $0\to A\to B\to C\to 0$ 与 $0\to A'\to B'\to C'\to 0$，若两端映射为同构，则中间映射为同构
• 证明用图追踪；在任意阿贝尔范畴中经嵌入定理化归为模的情形（见阿贝尔范畴）

例子

• 链映射在两端为同构时，诱导各阶同调的同构：先证明某阶，再用五引理归纳到相邻阶
• 两个 $\delta$-函子之间的自然变换在 $n=0$ 为同构时逐级为同构（见导出函子）

应用

五引理是同调代数与代数拓扑中反复使用的基本引理（长正合序列的对比、奇异同调与胞腔同调的等价性）；与蛇引理一起构成处理交换图的两个主力工具。