蛇引理

在带正合行的交换图中，行首的"核"与行尾的"余核"如何被中间态射联系起来？蛇引理给出连接同态 $\partial:\ker h\to\operatorname{coker}f$，把两行的核与余核接成一条精确的六项序列——长正合序列的"源头"。

需先掌握正合列、核与余核与阿贝尔范畴。

定义

设交换图

$$\begin{matrix}0&\to&A&\xrightarrow{a}&B&\xrightarrow{b}&C&\to&0\\ &&\downarrow\scriptstyle{f}&&\downarrow\scriptstyle{g}&&\downarrow\scriptstyle{h}\\ 0&\to&A'&\xrightarrow{a'}&B'&\xrightarrow{b'}&C'&\to&0\end{matrix}$$

两行均为短正合列。则存在连接同态 $\partial:\ker h\to\operatorname{coker}f$，使

$$\ker f\to\ker g\to\ker h\xrightarrow{\partial}\operatorname{coker}f\to\operatorname{coker}g\to\operatorname{coker}h$$

为正合列。

性质

• $\partial$ 在交换图意义下自然：对三行交换图的态射变换，连接同态与诱导映射相容
• 证明方法是图追踪（diagram chasing）：从 $c\in\ker h$ 取 $b'\in B'$ 的原像、沿行传递、再做商，构造 $\partial(c)$；在任意阿贝尔范畴中经 Freyd–Mitchell 嵌入化归为元素论证（见阿贝尔范畴）
• 特例：若 $f$ 是单态射且 $h$ 是满态射，则 $\ker f=0$、$\operatorname{coker}h=0$，得到 $0\to\ker g\to\ker h\xrightarrow{\partial}\operatorname{coker}f\to\operatorname{coker}g\to 0$

应用

蛇引理是构造长正合序列的基本工具：应用于复形的短正合列给出 $H^n$ 的长正合序列，也是导出函子连接同态的来源；拓扑中 Mayer–Vietoris 序列源于同一机制。