导出函子

左正合函子（如 $\mathrm{Hom}$）与右正合函子（如 $\otimes$）不保短正合列，丢失的精确性如何找回？导出函子把短正合列变成长正合序列，把"丢失的核/余核"装进高阶项 $R^nF$、$L_nF$——这就是同调代数的引擎。

需先掌握函子的正合性、阿贝尔范畴、正合列与投射对象与内射对象。

定义

设 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ 左正合、$\mathcal A$ 有足够多内射。对 $A\in\mathcal A$ 取内射消解 $0\to A\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots$，定义右导出函子

$$R^nF(A)=H^n(F(I^\bullet)),\qquad n\ge 0$$

此时 $R^0F\cong F$。若 $F$ 右正合且 $\mathcal A$ 有足够多投射，取投射消解 $\cdots\to P_1\to P_0\to A\to 0$，定义左导出函子

$$L_nF(A)=H_n(F(P_\bullet))$$

性质

• 长正合序列：短正合列 $0\to A\to B\to C\to 0$ 给出

$$0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A)\to R^1F(B)\to R^1F(C)\to R^2F(A)\to\cdots$$

其中连接同态由蛇引理给出；$L_nF$ 有对偶的版本

• 结果不依赖消解的选择（不同消解的同调典范同构）；$R^\bullet F$ 是泛 $\delta$-函子：任何 $\delta$-函子 $T^\bullet$ 满足 $T^0=F$ 都唯一映射到 $R^\bullet F$
• $F$ 正合 $\iff$ $R^nF=0$（$n\ge 1$）；此时长正合序列裂成一个个短正合列

例子

• $\mathrm{Ext}^n_R(A,-)=R^n\mathrm{Hom}_R(A,-)$；$\mathrm{Tor}^R_n(-,B)=L_n(-\otimes_R B)$（见Ext与Tor）
• 群上同调 $H^n(G,M)=\mathrm{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$；层上同调 $H^n(X,\mathcal F)=R^n\Gamma(\mathcal F)$（全局截面函子 $\Gamma$ 左正合）

应用

导出函子把"不精确的函子"系统地修补为长正合序列，是同调代数、代数拓扑（导出范畴）与代数几何（层上同调、$\mathrm{Ext}$ 层）的统一框架。