函子的正合性

很多函子（如 $\mathrm{Hom}$ 与张量积）只能"部分地"保持精确性：左正合保核、右正合保余核。准确区分这两种性质，是理解导出函子为何存在的前提。

需先掌握正合列、阿贝尔范畴与函子；与极限的联系见伴随函子与极限。

定义

设 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ 是阿贝尔范畴间的加法函子。

• $F$ 左正合（left exact）：$0\to A\to B\to C$ 正合 $\Rightarrow$ $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ 正合（等价于保核）
• $F$ 右正合（right exact）：$A\to B\to C\to 0$ 正合 $\Rightarrow$ $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ 正合（等价于保余核）
• $F$ 正合（exact）：把短正合列 $0\to A\to B\to C\to 0$ 送到短正合列

性质

• 左正合 $\iff$ 保有限极限（核、乘积、拉回）；右正合 $\iff$ 保有限余极限；两者都成立 $\iff$ 正合
• $\mathrm{Hom}(A,-)$ 左正合；$\mathrm{Hom}(-,B)$（反变）左正合；$-\otimes_R N$ 右正合
• $N$ 平坦 $\iff$ $-\otimes_R N$ 正合（见Ext与Tor）；$\mathrm{Hom}(P,-)$ 正合 $\iff$ $P$ 是投射对象

例子

• $\mathrm{Hom}_R(A,-):R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}$ 左正合但一般不正合
• $-\otimes_R N:R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}$ 右正合但一般不正合
• 伴随对自动给出正合性方向：右伴随（如遗忘函子、$\mathrm{Hom}(N,-)$）保极限故左正合，左伴随（如自由模函子、$-\otimes N$）保余极限故右正合

应用

"不精确"的左/右正合函子通过导出函子获得长正合序列修补；$\mathrm{Ext}$ 与 $\mathrm{Tor}$（见Ext与Tor）分别是 $\mathrm{Hom}$ 与 $\otimes$ 的导出函子，其高阶项精确度量丢失的核与余核。