分离公理

分离公理衡量一个拓扑空间"分辨点与闭集"的能力：公理越强，空间越接近我们熟悉的度量空间，可用的工具（如 Urysohn 引理）也越多。

需先掌握拓扑空间的开集、闭集与闭包，以及连续映射与同胚。

定义

设 $X$ 为拓扑空间：

• $T_0$：任意两点中，至少有一点存在不含另一点的邻域
• $T_1$：任意两点各存在不含另一点的邻域；等价地，单点集是闭集
• $T_2$（Hausdorff）：任意不同两点有不相交的邻域
• $T_3$（正则）：$T_1$ 且闭集 $F$ 与点 $x\notin F$ 可用不相交开集分离
• $T_4$（正规）：$T_1$ 且任意两个不相交闭集可用不相交开集分离

性质

• $T_4\Rightarrow T_3\Rightarrow T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$
• 度量空间满足全部分离公理；紧致 Hausdorff 空间正规（见紧致性）
• Hausdorff 空间中收敛序列的极限唯一；$T_1$ 空间中极限不必唯一（无限集余有限拓扑中，互异项数列收敛到每个点）
• Urysohn 引理：$X$ 正规，$A,B$ 为不相交闭集，则存在连续 $f:X\to[0,1]$ 使 $f|_A=0$，$f|_B=1$
• Tietze 延拓定理：$X$ 正规，$A$ 为闭集，$f:A\to[0,1]$ 连续，则 $f$ 可延拓为 $X\to[0,1]$ 上的连续函数

示例

• Sierpiński 空间是 $T_0$ 而非 $T_1$
• 无限集上的余有限拓扑是 $T_1$ 而非 $T_2$
• $\mathbb{R}$（通常拓扑）满足全部分离公理
• Sorgenfrey 平面 $\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell$ 是正则而非正规的空间（经典反例）

应用

Urysohn 引理与 Tietze 定理是把点集拓扑连接到分析的核心桥梁，也是 度量化与嵌入（Urysohn 度量化定理）的证明工具；紧致 Hausdorff 空间的正规性支撑 紧致性 的许多结论。