紧致性

紧致性把"闭区间 $[a,b]$ 上函数有最大值、数列有收敛子列"这类有限性直觉推广到一般空间：任何开覆盖都有有限子覆盖。

需先掌握拓扑空间的开集、闭集，连续映射与同胚，并理解分离公理中的 Hausdorff 条件。

定义

$X$ 称为紧致空间，若 $X$ 的每个开覆盖（一族并起来等于 $X$ 的开集）都有有限子覆盖。

有限交性质：一族闭集若任意有限个的交非空，则称具有 FIP。$X$ 紧致当且仅当 $X$ 中每个具有 FIP 的闭集族的交非空。

性质

• 连续映射把紧致空间映为紧致空间
• 紧致空间的闭子集紧致；Hausdorff 空间的紧致子集是闭集
• 紧致 Hausdorff 空间的连续双射是同胚（见连续映射与同胚）
• 有限个紧致空间的积紧致；一般情形由 Tychonoff 定理给出（依赖选择公理）
• 度量空间：紧致 $\iff$ 序列紧致（每列有收敛子列）$\iff$ 完备且全有界
• Heine–Borel：$\mathbb{R}^n$ 的子集紧致当且仅当有界且闭
• Bolzano–Weierstrass：$\mathbb{R}^n$ 中有界数列有收敛子列

示例

• $[0,1]$ 紧致；$(0,1)$ 不紧致：开覆盖 $\{(1/n,1-1/n):n\ge 3\}$ 无有限子覆盖
• $\mathbb{R}$ 不紧致：开覆盖 $\{(-n,n):n\in\mathbb{N}^+\}$ 无有限子覆盖
• $\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb{N}^+\}$ 紧致（唯一聚点为 $0$）
• $S^1$ 紧致，因为它是 $[0,1]$ 的连续像

应用

紧致性保证连续函数取到最值、积分与极限可交换等分析性质；紧致空间是几何拓扑与代数拓扑中分类问题的基本假设（见拓扑学）。