度量化与嵌入

度量化定理回答：何时一个抽象拓扑空间真的"来自某个距离"？若能，则度量空间中的收敛、完备化、一致连续性等工具全部可用。

需先掌握度量空间、基与子基（第二可数）、分离公理（正则与正规），以及连续映射与同胚中的嵌入概念。

定义

拓扑空间 $(X,\tau)$ 称为可度量化的，若存在度量 $d$ 使度量拓扑恰为 $\tau$。

拓扑嵌入是单射连续映射 $f:X\to Y$，且 $f:X\to f(X)$ 为同胚（$f(X)$ 取子空间拓扑）。

Urysohn 度量化定理

第二可数且正则（$T_3$）的 Hausdorff 空间可度量化。

证明思路：利用 Urysohn 引理对每个"基本邻域对"构造连续函数，把 $X$ 拓扑嵌入可数个 $[0,1]$ 区间的乘积（Hilbert 立方体 $[0,1]^{\mathbb{N}}$），再在其上定义度量。

性质

• 可度量化是拓扑性质：同胚空间同时可度量化或同时不可
• 度量空间中可分 $\iff$ 第二可数（一般拓扑空间只有第二可数 $\Rightarrow$ 可分）
• Nagata–Smirnov 定理：正则空间可度量化当且仅当具有 $\sigma$-局部有限基（不含证明）
• 每个第二可数正则 Hausdorff 空间（如紧致可度量化空间）可嵌入 Hilbert 立方体 $[0,1]^{\mathbb{N}}$

示例

• $\mathbb{R}^n$、$L^p$ 空间均可度量化（由范数给出度量）
• 离散空间可度量化（离散度量）
• Sorgenfrey 直线可分但不具可数基，因而不第二可数，不可度量化
• $\{0,1\}^\kappa$（$\kappa$ 不可数）紧致 Hausdorff 但不可度量化：其第一可数性失败

应用

度量化把度量工具引入抽象空间；泛函分析中的弱拓扑一般不可度量化，这解释了为何需要网与滤子理论。嵌入把抽象空间实现为 Hilbert 立方体或 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，便于几何地研究（见拓扑学）。