拓扑空间

拓扑空间是度量空间的公理化推广：把微积分中"距离"所能支撑的极限与连续理论，提炼为只依赖"开集"的最一般框架，从而能处理函数空间、代数簇等没有自然距离的对象。

需先掌握集合与映射的基本运算，并具有度量空间（开球、开集）的直觉。

定义

设 $X$ 为非空集合，$\tau\subseteq\mathcal{P}(X)$ 满足：

1. $\varnothing,\,X\in\tau$
2. 任意多个 $\tau$ 中成员的并仍在 $\tau$ 中
3. 有限个 $\tau$ 中成员的交仍在 $\tau$ 中

则称 $\tau$ 为 $X$ 上的拓扑，$(X,\tau)$ 为拓扑空间，$\tau$ 中的成员称为开集。

闭集是开集的补集；既开又闭的集合称为闭开集。若存在开集 $U$ 使 $x\in U\subseteq N$，则 $N$ 称为 $x$ 的邻域（参见邻域）。

内部、闭包与边界

对 $A\subseteq X$：

• 内部 $\operatorname{int}(A)$：包含于 $A$ 的最大开集
• 闭包 $\operatorname{cl}(A)$：包含 $A$ 的最小闭集
• 边界 $\partial A=\operatorname{cl}(A)\setminus\operatorname{int}(A)$

$x\in\operatorname{cl}(A)$ 当且仅当 $x$ 的每个邻域都与 $A$ 相交；$A$ 为闭集当且仅当 $A=\operatorname{cl}(A)$。

由已知空间构造新拓扑

• 子空间拓扑：$A\subseteq X$ 上的开集为 $A\cap U$（$U$ 为 $X$ 中开集）
• 积拓扑：有限乘积 $X_1\times\cdots\times X_n$ 以 $U_1\times\cdots\times U_n$（$U_i$ 为开集）为基
• 商拓扑：对等价关系 $\sim$，$X/{\sim}$ 的开集为在 $X$ 中开集的原像

示例

• 离散拓扑：$\tau=\mathcal{P}(X)$，一切子集均开
• 平庸拓扑：$\tau=\{\varnothing,X\}$，仅有两个开集
• 余有限拓扑：$X$ 为无限集，开集为 $\varnothing$ 或有限集的补
• 度量拓扑：$\mathbb{R}^n$ 中由开球生成的拓扑（见度量空间）
• Sierpiński 空间：$X=\{0,1\}$，$\tau=\{\varnothing,\{0\},\{0,1\}\}$

应用

连续函数（连续映射与同胚）、紧致性、连通性、分离公理全部用开集语言定义；泛函分析中的弱拓扑与代数几何中的 Zariski 拓扑都是非度量拓扑的典型来源。