目录

1. 点集拓扑

• 拓扑空间的定义
  • 开集与闭集的基本性质
  • 拓扑基与子基
  • 子空间拓扑
• 连续函数与同胚
  • 连续性的拓扑定义
  • 同胚与拓扑等价
• 分离性与紧致性
  • T0、T1、T2（Hausdorff）分离公理
  • 紧致性与极限点紧性
  • 紧性与有限覆盖
• 连通性
  • 连通空间与路径连通
  • 局部连通性
• 度量化与嵌入
  • 度量空间与拓扑的关系
  • Urysohn嵌入定理

2. 代数拓扑

• 基本群与覆盖空间
  • 基本群的定义与性质
  • 覆盖空间与铺覆
  • Van Kampen定理
• 同调理论
  • 奇异同调与胞腔同调
  • Mayer-Vietoris序列
• 上同调理论
  • 上同调群的定义
  • 上同调群的性质与计算
• 同伦论
  • 同伦等价与退化映射
  • 高阶同伦群的初步讨论

3. 几何拓扑

• 拓扑流形
  • 拓扑流形的定义与分类
  • 高维流形的基本性质
• 结理论
  • 结的拓扑不变量
  • 三维流形中的结分解
• 高维几何拓扑
  • 手术理论基础
  • 高维流形的分解与嵌入

4. 特殊主题

• 紧化理论
  • 一点紧化
  • Stone-Čech紧化的拓扑构造
• 动态系统与拓扑
  • 拓扑动力系统的基本理论
  • 动态行为的拓扑分类
• 纤维丛与覆盖空间
  • 纤维丛的定义
  • 主丛与联络的初步讨论

5. 应用方向

• 数据科学中的拓扑
  • 拓扑数据分析（TDA）
  • 持久性同调与可视化
• 数学物理中的拓扑
  • 拓扑场论的基础
  • 流形与规范场论的拓扑性质