基与子基

基是用"少数生成元"描述全部开集的工具：与其逐个列出开集，不如给出能拼出所有开集的小族。度量空间的开球族、实数轴的开区间族都是基的典型例子。

需先掌握拓扑空间的开集公理与子空间、积拓扑的构造。

定义

拓扑空间 $(X,\tau)$ 的基是子族 $\mathcal{B}\subseteq\tau$，使每个开集都能写成 $\mathcal{B}$ 中成员的并。

子基 $\mathcal{S}\subseteq\tau$ 是满足如下条件的子族：$\mathcal{S}$ 的有限交构成一个基。

基的判定准则

$\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(X)$ 是某个拓扑的基，当且仅当：

1. $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X$
2. 对任意 $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ 与 $x\in B_1\cap B_2$，存在 $B_3\in\mathcal{B}$ 使 $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$

性质

• 若 $\mathcal{B}$ 为 $\tau$ 的基，则 $U\in\tau$ 当且仅当对每个 $x\in U$ 存在 $B\in\mathcal{B}$ 使 $x\in B\subseteq U$
• 连续性可用基判别：$f:X\to Y$ 连续当且仅当 $Y$ 的某个基中每个成员的原像在 $X$ 中开（见连续映射与同胚）
• 第二可数空间：具有可数基的空间。第二可数 $\Rightarrow$ 可分（有可数稠密子集）；对度量空间反之亦真
• 积拓扑以 $U_1\times\cdots\times U_n$（$U_i$ 开）为基；更一般地，积拓扑以单坐标开集的原像 $\pi_i^{-1}(U_i)$ 为子基

示例

• $\mathbb{R}$ 的通常拓扑以开区间 $(a,b)$ 为基；取 $a,b\in\mathbb{Q}$ 即得可数基
• 度量空间的全体开球构成基
• $\mathbb{R}^n$ 的积拓扑以开矩形 $I_1\times\cdots\times I_n$（$I_i$ 为开区间）为基

应用

第二可数性是 度量化与嵌入（Urysohn 度量化定理）的关键假设；Alexander 子基定理用子基判别紧致性，是 Tychonoff 定理证明的起点。