连通性

连通性刻画"空间不能被分成两块"的性质，是中间值定理等分析结果的拓扑根源。

需先掌握拓扑空间的开集、闭集，以及连续映射与同胚。

定义

$X$ 称为连通空间，若不存在非空的 $A,B\subseteq X$ 使 $A,B$ 开、$A\cap B=\varnothing$、$A\cup B=X$。等价地，$X$ 的闭开集只有 $\varnothing$ 与 $X$。

$X$ 称为道路连通空间，若任意两点 $x,y$ 之间存在连续映射 $\gamma:[0,1]\to X$（道路）满足 $\gamma(0)=x$，$\gamma(1)=y$。

性质

• 连续映射保持连通性
• 连通空间的闭包连通；连通空间的积连通
• 道路连通 $\Rightarrow$ 连通；反之不然（拓扑学家正弦曲线连通但不道路连通）
• 连通分量：按"位于同一连通子集"划分出的极大连通子集，把 $X$ 分成互不相交的块
• 中间值定理（拓扑版）：连通空间到 $\mathbb{R}$ 的连续函数的像是区间——介值定理是 $X=[a,b]$ 的特例

示例

• $\mathbb{R}$、$\mathbb{R}^n$ 均连通且道路连通
• $(0,1)\cup(2,3)$ 不连通（两个不相交开集之并）
• $\mathbb{Q}$ 完全不连通：连通分量都是单点
• 拓扑学家正弦曲线 $\{(x,\sin(1/x)):x>0\}\cup\{(0,y):-1\le y\le 1\}$ 连通但不道路连通
• $S^1$ 道路连通；其上的道路与覆盖映射是基本群理论的素材（见拓扑学）

应用

连通性支撑介值定理、区域分解与级数收敛性分析；道路连通性是拓扑学中基本群 $\pi_1$ 讨论的前提。