覆盖空间

覆盖空间把空间"多层展开"，使底空间的每条道路在每一层都有唯一的提升；它与基本群的子群结构一一对应，既是计算基本群的工具，也是研究其群作用的手段。

需先掌握基本群、同胚与道路连通性。

定义

连续满射 $p:\tilde X\to X$ 称为覆盖映射，若 $X$ 的每点 $x$ 有开邻域 $U$ 使得 $p^{-1}(U)$ 是两两不交开集的并，且每个开集在 $p$ 下同胚于 $U$。此时 $(\tilde X,p)$ 称为 $X$ 的覆盖空间，$p^{-1}(x)$ 称为纤维。若 $\tilde X$ 单连通，则称为万有覆盖空间。

性质

• 道路提升：对任意道路 $\gamma:I\to X$ 与 $\tilde x\in p^{-1}(\gamma(0))$，存在唯一道路 $\tilde\gamma:I\to\tilde X$ 使 $\tilde\gamma(0)=\tilde x$ 且 $p\circ\tilde\gamma=\gamma$；同伦也有相应的提升性质
• 覆盖映射是局部同胚；反之，局部同胚若具有道路提升性质，则是覆盖映射
• Galois 对应（$X$ 道路连通、局部道路连通且半局部单连通时）：$X$ 的连通覆盖空间（保基点同构类）与 $\pi_1(X,x_0)$ 的子群一一对应，子群 $H$ 对应满足 $p_*(\pi_1(\tilde X,\tilde x_0))=H$ 的覆盖；正规覆盖对应正规子群
• 覆盖变换：满足 $p\circ\varphi=p$ 的同胚 $\varphi:\tilde X\to\tilde X$ 构成覆盖变换群 $\operatorname{Deck}(\tilde X/X)$，同构于 $N(H)/H$（$H=p_*(\pi_1(\tilde X))$）
• 万有覆盖 $\tilde X$ 上 $\pi_1(X)$ 以覆盖变换自由作用，且 $X\cong\tilde X/\pi_1(X)$

示例

• $p:\mathbb{R}\to S^1$，$p(t)=e^{2\pi it}$：万有覆盖，纤维同构于 $\mathbb{Z}$，覆盖变换群 $\cong\mathbb{Z}$；由此得 $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$（圈数）
• $p:S^1\to S^1$，$z\mapsto z^n$：$n$ 重覆盖，对应子群 $n\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}$
• $p:S^2\to\mathbb{R}P^2$：二重覆盖（$x$ 与 $-x$ 粘合），由此得 $\pi_1(\mathbb{R}P^2)\cong\mathbb{Z}/2$，覆盖变换群 $\cong\mathbb{Z}/2$

应用

覆盖空间理论给出 $\pi_1(S^1)$ 的严格计算与基本群的子群分类；万有覆盖是黎曼曲面、$\mathbb{T}^n$、$\mathbb{R}P^n$ 等空间的几何与群作用研究的标准工具。