爱因斯坦方程

引力场的动力学方程：时空曲率与物质能量的耦合。它说明"物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动"，是广义相对论的核心。

需先掌握Ricci曲率、数量曲率与广义相对论的时空模型。

方程

$$R_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}R\,g_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

其中 $R_{\mu\nu}$ 为Ricci曲率，$R$ 为数量曲率，$\Lambda$ 为宇宙学常数，$T_{\mu\nu}$ 为能量动量张量。

性质

• 左边是度量张量场 $g$ 的二阶非线性偏微分方程，$g$ 是待求未知函数
• 由 Bianchi 恒等式，方程左边散度为零，与能量动量守恒 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ 自洽
• 真空情形（$T=0$，$\Lambda=0$）给出 $R_{\mu\nu}=0$，此时时空仍可有曲率（如引力波）
• 弱场线性化回到牛顿引力势方程

示例

• Schwarzschild 解：球对称真空解，描述黑洞外部时空
• Friedman–Lemaître–Robertson–Walker 解：均匀各向同性宇宙学模型

应用

爱因斯坦方程是广义相对论的核心；其精确解（黑洞、宇宙模型）构成微分几何与物理交叉研究的对象，见测地线偏差方程与常曲率空间。