列维-奇维塔符号 - 维基百科，自由的百科全书

来源与用途

本页保留维基百科剪藏的来源、各维定义和收缩恒等式，并校正记号及坐标条件。基础阅读先见 全排列、逆序数 和 行列式概述；本页用于指标记号与 叉积 的拓展。

列维-奇维塔符号 （英语： Levi-Civita symbol ），又称 列维-奇维塔ε ，为一在 线性代数 ， 张量分析 和 微分几何 等数学范畴中常见到的符号。对于正整数 n ，它以1, 2,..., n 所形成 排列的奇偶性 来定义。它以意大利数学家和物理学家 图利奥·列维-齐维塔 命名。其他名称包括 排列符号 、 反对称符号 与 交替符号 。这些名称与它排列和反对称的性质有关。

列维-奇维塔符号的标准记号是希腊小写字母 ε 或 ϵ ，较不常见的也有以拉丁文小写 e 记号。下标符能与张量分析兼容的方式来显示排列：

${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

其中每个下标指标 a₁, a₂,..., a_*n* 取值介乎 1 到 n 。在 $\varepsilon_{a_1 a_2 \cdots a_n}$ 中，共有 $n^n$ 个指标组合，可以排成为一个 n 维阵列。

当任何两个指标相等，则定义符号值等于 0 ：

${\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{p}\cdots }=0}$ ；

当全部指标都不相等时，我们定义：

${\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{12\cdots n}}$ ，

其中 $p$ 是要将 a₁, a₂,..., a_*n* 变换成自然次序 1, 2,..., n ，所用的对换次数；次数本身可依分解改变，但奇偶性不变。而因子 (−1)^*p* 被称为"排列正负号" (signum of permutation)。这里， ε_12...*n* 的值必须有定义，否则其他特定排列的符号值将无法确定。大多数作者选择 +1 作为自然次序的值：

${\displaystyle \varepsilon _{12\cdots n}=+1}$ 。

在本文中，也将使用这个定义。

从定义可知，当任何两个指标互换，则须加上负号：

${\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{q}\cdots }=-\varepsilon _{\cdots a_{q}\cdots a_{p}\cdots }}$ 。

这称为"完全反对称性"。

" n 维列维-奇维塔符号"一词是指符号上的指标数 n ，和所讨论的向量空间维度相符，其中可指 欧几里得空间 或 非欧几里得空间 ，例如 R³ 的 n = 3 或 闵可夫斯基空间 的 n = 4 。

按排列定义的符号是固定的数字数组，不自动按一般张量的坐标变换规则变换。它与定向体积张量、张量密度的关系见后文，不能把“数字不变”误解为任意坐标下张量分量不变。

列维-奇维塔符号可用来表示 正方矩阵 的 行列式概述 ，及三维欧几里德空间中的两个 向量 的 叉积 。

定义

列维-奇维塔符号最常用于三维和四维，并在一定程度上用于二维，因此在定义一般情况之前，先给出这些符号值。

二维

在二维中，列维-奇维塔符号定义如下：

$\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,$

• 当 $\displaystyle \left(i,j\right)=\left(1,2\right)$
• 当 $\displaystyle \left(i,j\right)=\left(2,1\right)$
• 当 $\displaystyle i=j$

这些值可以排列成 2×2 反对称矩阵 ：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

相对于其他维度，二维的列维-奇维塔符号并不常见，虽然在某些专门的主题，如 超对称 和 扭量理论 中，谈及2- 旋量 时会用到。

三维

对于 ε ijk 的指标 ( i, j k ) ，数字 1, 2, 3 在 循环排列的次序，对应 = +1 。在 反循环排列的次序，则对应 = −1 。其余情况下， = 0 。

三维以上的列维-奇维塔符号更常使用。在三维中，列维-奇维塔符号定义如下：

$\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,$

• 当 $\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(1,2,3\right)$ 、 $\displaystyle \left(2,3,1\right)$ 或 $\displaystyle \left(3,1,2\right)$
• 当 $\displaystyle \left(i,j,k\right)=\left(3,2,1\right)$ 、 $\displaystyle \left(2,1,3\right)$ 或 $\displaystyle \left(1,3,2\right)$
• 当 $\displaystyle i=j$ 、 $\displaystyle j=k$ 或 $\displaystyle i=k$

也就是说，如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，则符号值为 +1 。如果是奇排列，则符号值为 −1 。如果任何两个索引重复，则符号值为 0 。

在三维中，三个循环次序为偶排列，另外三个为奇排列，足以穷举六种非零情况。一般 $n$ 维必须判定整个排列的奇偶性；一个 $n$ 循环的符号为 $(-1)^{n-1}$，不能机械推广三维的分类口诀。

类似于二维矩阵，三维列维-奇维塔符号的值可以排成 3×3×3 阵列：

可把 $i$ 看成切片编号，$j,k$ 看成每个切片中的行、列指标。

以下是一些例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{{1}{3}{2}}=-\varepsilon _{{1}{2}{3}}&=-1\\\varepsilon _{{3}{1}{2}}=-\varepsilon _{{2}{1}{3}}&=-(-\varepsilon _{{1}{2}{3}})=1\\\varepsilon _{{2}{3}{1}}=-\varepsilon _{{1}{3}{2}}&=-(-\varepsilon _{{1}{2}{3}})=1\\\varepsilon _{{2}{3}{2}}=-\varepsilon _{{2}{3}{2}}&=0\end{aligned}}}$

四维

在四维中，列维-奇维塔符号定义如下：

$\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,$

• 当 $\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)$ 的偶排列
• 当 $\displaystyle \left(i,j,k,l\right)=\left(1,2,3,4\right)$ 的奇排列
• 其余情况，即任意两个指标相等

这些值可以排成 4×4×4×4 阵列，然而四维以上较难描绘出示意图。

以下是一些例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{{1}{4}{3}{{2}}}=-\varepsilon _{{1}{{2}}{3}{4}}&=-1\\\varepsilon _{{{2}}{1}{3}{4}}=-\varepsilon _{{1}{{2}}{3}{4}}&=-1\\\varepsilon _{{4}{3}{{2}}{1}}=-\varepsilon _{{1}{3}{{2}}{4}}&=-(-\varepsilon _{{1}{{2}}{3}{4}})=1\\\varepsilon _{{3}{{2}}{4}{3}}=-\varepsilon _{{3}{{2}}{4}{3}}&=0\end{aligned}}}$

推广到高维

更一般地推广到 n 维中，则列维-奇维塔符号的定义为：

$\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}$

• 当 $\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n})$ 是 $\displaystyle (1,2,3,\dots,n)$ 的偶排列
• 当 $\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n})$ 是 $\displaystyle (1,2,3,\dots,n)$ 的奇排列
• 其余情况，即任意两个指标相等

又可使用求积符号 ∏ 表达为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}}$

其中的 sgn(x) 是 符号函数 ，根据 x 的正负给出 +1 、 0 或 −1。该公式对对于任何 n 及任何指标排列都有效（当 n = 0 或 1 时，定义为 空积 1）。

然而，计算以上公式的 时间复杂度 为 O(n²) ，对合法排列可用不交循环分解计算符号 $(-1)^{n-c}$（$c$ 为循环数），使用访问标记只需 $O(n)$ 时间；由逆序数计数也可在 $O(n\log n)$ 时间内计算。

两个列维-奇维塔符号的积，可以用一个以 广义克罗内克函数 表示的行列式求得：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{mnl\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{im}&\delta _{in}&\delta _{il}&\dots \\\delta _{jm}&\delta _{jn}&\delta _{jl}&\dots \\\delta _{km}&\delta _{kn}&\delta _{kl}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}$

应用和范例

以下给出行列式、叉积与混合积的指标表达。

行列式

在 线性代数 中， 3×3 的方阵 A = (a_ij*) ：

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$ ，

其 行列式概述 可以写为：

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k}}$ ，

类似地， n × n 矩阵 A = (a_ij*) 的行列式可以写为：

${\displaystyle \det(A)=\sum _{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}=1}^{n}\varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,a_{1a_{1}}\,a_{2a_{2}}\,\cdots \,a_{na_{n}},}$

向量的叉积

对于 向量 a 与 b ，它们的 叉积 ：

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}\,{\boldsymbol {e}}_{k}}$

对于 向量 a 、 b 与 c ，它们的 三重积 ：

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}c_{k}}$

性质

由列维-奇维塔符号给出（ 共变 等级为n） 张量 在 标准正交基 中的组成部分，有时称为"置换张量"。

在欧氏正交坐标变换中，$Q\in O(n)$ 满足

$$\sum_{a_1,\ldots,a_n}Q_{i_1a_1}\cdots Q_{i_na_n}\varepsilon_{a_1\cdots a_n}=\det(Q)\varepsilon_{i_1\cdots i_n}.$$

故纯旋转（$\det Q=1$）保持数组，反向 正交变换（$\det Q=-1$）使按张量规则变换的结果反号。若要求每套坐标仍使用同一个固定数组，则须额外的行列式因子，这就是此处赝张量约定。

三维中两个极向量的叉积按 $(Qa)\times(Qb)=\det(Q)Q(a\times b)$ 变换，故称轴向量或赝向量。它在固定定向的欧氏空间中仍是一个向量；“赝”区分的是反射下的变换规律，不能据此否定向量空间运算。

一般 坐标变换 下应区分符号与体积张量。在选定定向的黎曼度量中，正向坐标下体积形式的协变分量为 $\sqrt{\det g}\,\varepsilon_{i_1\cdots i_n}$；坐标改变时还要遵守定向和张量变换律。在正交坐标之间，相应行列式因子为 $\pm1$。

在无指标的张量符号中，列维-奇维塔符号被 霍奇对偶 的概念所取代。

下列欧氏正交坐标下的恒等式把上下标数组取为相同数值：

${\displaystyle \varepsilon ^{ij\dots k}=\varepsilon _{ij\dots k}.}$

在这些例子中，上标只是这一数组约定。对一般度量的真正张量，升降指标须使用度量；闵可夫斯基度量下不能沿用“上下标总相等”。

使用 爱因斯坦标记法 可消除求和符号，每个求和项中恰出现两次的哑指标表示求和；自由指标在等式两边必须匹配。例如，

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}}$.

以下的例子使用爱因斯坦标记法。

二维

在二维上，当所有 ${\displaystyle i}$ ， ${\displaystyle j}$ ， ${\displaystyle m}$ ， ${\displaystyle n}$ 各取值1和2时，

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}}\tag{1}$$

^epsilon-1

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}}\tag{2}$$

^epsilon-2

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.}\tag{3}$$

^epsilon-3

三维

指标和符号值

在三维中，当所有 ${\displaystyle i}$ ， ${\displaystyle j}$ ， ${\displaystyle k}$ ， ${\displaystyle m}$ ， ${\displaystyle n}$ 各取值1,2和3时：

$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}{}^{m}\delta _{k}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}\delta _{k}{}^{m}}\tag{4}$$

^epsilon-4

$${\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}}\tag{5}$$

^epsilon-5

$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.}\tag{6}$$

^epsilon-6

乘积

列维-奇维塔符号与 克罗内克函数 有关。 在三维中，关系由以下等式给出（垂直线表示行列式）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}}$

这个结果的一个特例是(^epsilon-4):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$

有时候其被称为"contracted epsilon identity"。

在爱因斯坦标记法中， ${\displaystyle i}$ 指标的重复表示对于 ${\displaystyle i}$ 的求和。由此，上述结论可表记为：

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$

进一步可以知道：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}$

n维

指标和符号值

在n维中，当所有 ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n},j_{1},\ldots ,j_{n}}$ 各取值 ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ ：

$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}}\tag{7}$$

^epsilon-7

$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}}\tag{8}$$

^epsilon-8

$${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!}\tag{9}$$

^epsilon-9

惊叹号(${\displaystyle !}$)代表 阶乘 ，而 ${\displaystyle \delta _{\beta \ldots }^{\alpha \ldots }}$ 是广义克罗内克函数，对于任意n有属性：

${\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!}$

从以下事实可得出：

• 每个排列是偶排列或奇排列，
• ${\displaystyle (+1)^{2}=(-1)^{2}=1}$ ，与
• 任何n-元素集合的排列数正好是 ${\displaystyle n!}$ 。

乘积

一般来说，对于n维，两个列维-奇维塔符号的乘积可以写成：

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}}$

记号约定与核对

广义 Kronecker 符号定义为 $\delta_{i_1\cdots i_m}^{j_1\cdots j_m}=\det(\delta_{i_a}^{j_b})_{a,b=1}^m$；反对称方括号包含 $1/m!$ 的归一化，因此本页的 $m!\delta_{[i_1}^{j_1}\cdots\delta_{i_m]}^{j_m}$ 与该行列式相等。

收缩式可直接枚举 $\varepsilon$ 的定义核对。例如固定 $j,k,m,n\in\{1,2,3\}$，$\sum_i\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}$；两个下标相同的项为零，余下仅需检查排列符号。正交反射下的轴向量约定可参阅 Fitzpatrick 的张量讲义。