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拉普拉斯展开法可以将行列式的计算化为低阶行列式的运算。

设 $A$ 是一个 $n$ 阶行列式:

A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

按第 $k$ 行(列)展开时,其公式为:

A = \sum_{j=1}^n (-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}

即k行中所有元素 $a_{kj}$ 与其对应的代数余子式的乘积之和 $M_{kj}$ 代表将 $A$ 的第 $k$ 行,第 $j$ 列元素 $a_{kj}$ 所在的行和列删去后,留下的 $(n-1)$ 阶余子式。 $(-1)^{k+j}$ 代表行列式的位置系数

步骤

对于一个4阶行列式:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 & 9\\ 5 & -2 & 0 & 1\\ 6 & 8 & 5 & 3\\ 1 & 2 & 7 & 6 \end{vmatrix}

按第2行展开,则结果为:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 & 9\\ 5 & -2 & 0 & 1\\ 6 & 8 & 5 & 3\\ 1 & 2 & 7 & 6 \end{vmatrix} = -5\begin{vmatrix} 1 & 4 & 9\\ 6 & 5 & 3\\ 1 & 7 & 6 \end{vmatrix} +(-2)\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9\\ 6 & 5 & 3\\ 1 & 7 & 6 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 6 & 8 & 5\\ 1 & 2 & 7 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & -2 & 0\\ 6 & 8 & 5 \end{vmatrix}

拉普拉斯展开法的关键在于将高阶行列式化为低阶行列式的运算,可以很大程度减少计算量。

这种方法在手算时很有用,但在数值计算时更多采用高斯消元法。不过拉普拉斯展开还是揭示了行列式与子式的递推关系,体现了行列式理论的内在结构。