拉普拉斯展开法

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拉普拉斯展开法以余子式与代数余子式为基本构件，将行列式的计算化为低阶行列式的运算。

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵, 记其行列式为 $D = \det A$ :

A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

按第 $k$ 行展开时,其公式为:

D = \sum_{j=1}^n (-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}

按第 $l$ 列展开时,其公式为:

D = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+l}a_{il}M_{il}

即某一行(列)中所有元素与其对应的代数余子式 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 的乘积之和。
$M_{ij}$ 代表将 $A$ 的第 $i$ 行,第 $j$ 列元素 $a_{ij}$ 所在的行和列删去后,留下的 $(n-1)$ 阶余子式。
$(-1)^{i+j}$ 代表行列式的位置系数。

嵌套展开

拉普拉斯展开可以递归进行：第一次展开得到 $n$ 个 $(n-1)$ 阶余子式，每个余子式本身又是一个行列式，可再按某一行或一列展开，阶数逐次降低，直到化为 $2\times 2$ 行列式 $ad-bc$ 直接求值。

以三阶行列式为例，先按第一行展开，再把每个二阶余子式写成 $ad-bc$ ：

\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &= a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\\ &= a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}). \end{aligned}

按列展开同理，先沿第 $l$ 列展开得到 $n$ 个 $(n-1)$ 阶余子式，再继续嵌套降阶。

拉普拉斯展开可以直接推出行列式性质中上（下）三角行列式的结论：其值等于主对角线上各元素的乘积。

对 $n$ 阶上三角行列式按第一列展开，由于第一列只有 $a_{11}$ 非零，展开只剩一项：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

余子式 $M_{11}$ 仍是 $(n-1)$ 阶上三角行列式，反复按第一列展开即得

a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^n a_{ii}.

下三角行列式同理，按第一行展开得到同一结果。

Example

对于一个4阶行列式:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 & 9\\ 5 & -2 & 0 & 1\\ 6 & 8 & 5 & 3\\ 1 & 2 & 7 & 6 \end{vmatrix}

按第2行展开,则结果为:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 & 9\\ 5 & -2 & 0 & 1\\ 6 & 8 & 5 & 3\\ 1 & 2 & 7 & 6 \end{vmatrix} = -5\begin{vmatrix} 3 & 4 & 9\\ 8 & 5 & 3\\ 2 & 7 & 6 \end{vmatrix} +(-2)\begin{vmatrix} 1 & 4 & 9\\ 6 & 5 & 3\\ 1 & 7 & 6 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9\\ 6 & 8 & 3\\ 1 & 2 & 6 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 6 & 8 & 5\\ 1 & 2 & 7 \end{vmatrix}

拉普拉斯展开法的关键在于将高阶行列式化为低阶行列式的运算,可以很大程度减少计算量。

这种方法在手算时很有用,但在数值计算时更多采用高斯消元法。不过拉普拉斯展开还是揭示了行列式与子式的递推关系,体现了行列式理论的内在结构。