定义

行列式的全排列指的是对于一个n阶方阵A，将其n个元素按照某种顺序进行排列的所有可能性。每一种排列方式都是矩阵的一个全排列。

$$\text{det} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} \cdot a_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{n\sigma(n)}$$

其中，$\sigma$ 是对于 $1,2,…,n$ 的全排列，$\text{sgn}(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的置换符号，$a_{i\sigma(i)}$ 是矩阵元素 $a_{ij}$ 中，$i$ 对应于排列 $\sigma$ 的第 $i$ 个位置。这是行列式全排列的严格表示。