全排列

行列式的 Leibniz 展开式（即把行列式按全排列展开、写成 $n!$ 项带符号之和的定义，见行列式概述）中，所谓全排列是指数字 $1,2,\dots,n$ 的所有排列，它是行列式展开的基本构件。每个排列 $\sigma$ 对应一项

$$a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}$$

也就是说, 对于 $n$ 阶行列式, 每一项都是从每一行、每一列恰好取一个元素得到的乘积。

$$\text{det} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} = \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdot \ldots \cdot a_{n\sigma(n)}$$

其中，$\sigma$ 是集合 $\{1,2,\dots,n\}$ 的一个全排列，$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}\in\{1,-1\}$ 是排列的符号，$\operatorname{inv}$ 是逆序数。不能写成 $(-1)^{\operatorname{sgn}(\sigma)}$，因为这会让两种排列都得到 $-1$。这就是行列式按全排列展开的定义。