行列式性质

以下涉及 $A,B$ 的乘积性质均指同阶方阵。基本性质由行列式的定义推出，可用于计算与化简：

1. $|A| = |A^T|$（转置不改变行列式）
2. $|AB| = |A| \cdot |B|$
3. $|AB| = |BA|$
4. 如果 $A$ 可逆, 则 $|A|\cdot|A^{-1}| = 1$, 即 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
5. 如果 $A$ 是上/下三角矩阵, 则 $|A|$ 等于对角线上所有元素的乘积:

$$|A|=\prod_{i=1}^n a_{ii}$$

6. 某一行（列）乘 $k$ 时行列式乘 $k$；整个矩阵数乘 $k$ 会使每行都乘 $k$，故 $n$ 阶矩阵 $|kA| = k^n |A|$