混合积

混合积

混合积是指三个向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 的数量积。它通常用来计算三个向量所定义的平行六面体的体积。混合积的定义如下：

$$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$$

其中，$\vec{a} \times \vec{b}$ 表示 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的叉积（向量积），结果是一个向量；然后这个向量再与向量 $\vec{c}$ 做点积（数量积），结果是一个标量。
可以用行列式来表达混合积：

$$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}$$

其中，$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，$\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$。

几何解释

混合积的绝对值等于由向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 构成的平行六面体的体积

$$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$$

性质

1. 交换性：
   • $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}$
2. 线性性：
   • 混合积对每个向量都是线性的，例如：

$$(k \vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = k (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$$

$$(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})) \cdot \vec{d} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} + (\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{d}$$

1. 平行向量：
   • 如果 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 中有任意两个向量是平行的，那么混合积为零：

$$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \quad \text{如果} \quad \vec{a} \parallel \vec{b}$$

示例