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范德蒙德行列式

CyletixGPT-4数学AI

范德蒙德行列式是各行元素按 1,xi,xi2,…,xin−11, x_i, x_i^2, \ldots, x_i^{n-1} 幂次排列的特殊行列式，其值有简洁的乘积公式，是行列式理论中计算与理论推导的常用工具。

V(x1,x2,…,xn)=∣1x1x12⋯x1n−11x2x22⋯x2n−11x3x32⋯x3n−1⋮⋮⋮⋱⋮1xnxn2⋯xnn−1∣V(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}

该行列式的值可以表示为各变量之差的积：

V(x1,x2,…,xn)=∏1≤i<j≤n(xj−xi)V(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

证明

用归纳法证明 V(x1,…,xn)=∏1≤i<j≤n(xj−xi)V(x_1,\dots,x_n)=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)。

  1. 基础步骤：n=2n=2 时

    ∣1x11x2∣=x2−x1,\begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} = x_2 - x_1,

    公式成立。
  2. 归纳步骤：设 n−1n-1 阶情形公式成立。对 V(x1,…,xn)V(x_1,\dots,x_n) 从右到左依次做列变换

    Cj←Cj−xn Cj−1,j=n,n−1,…,2.C_j \leftarrow C_j - x_n\,C_{j-1}, \qquad j = n, n-1, \ldots, 2.

    第 ii 行第 jj 列元素变为 xij−1−xnxij−2=xij−2(xi−xn)x_i^{j-1} - x_n x_i^{j-2} = x_i^{j-2}(x_i - x_n)，故第 nn 行变为 (1,0,…,0)(1, 0, \ldots, 0)。按最后一行展开，并从每一行提出公因子 xi−xnx_i - x_n：

    V(x1,…,xn)=(−1)n+1∏i=1n−1(xi−xn)⋅V(x1,…,xn−1)=∏i=1n−1(xn−xi)⋅V(x1,…,xn−1),V(x_1,\dots,x_n) = (-1)^{n+1}\prod_{i=1}^{n-1}(x_i - x_n)\cdot V(x_1,\dots,x_{n-1}) = \prod_{i=1}^{n-1}(x_n - x_i)\cdot V(x_1,\dots,x_{n-1}),

    其中符号部分 (−1)n+1∏i=1n−1(xi−xn)=∏i=1n−1(xn−xi)(-1)^{n+1}\prod_{i=1}^{n-1}(x_i - x_n) = \prod_{i=1}^{n-1}(x_n - x_i)：每个因子 xi−xnx_i - x_n 各含一个 −1-1，共 n−1n-1 个，与展开系数 (−1)n+1(-1)^{n+1} 相乘得 (−1)2n=1(-1)^{2n}=1，符号恰好抵消。由归纳假设：

    V(x1,…,xn)=∏i=1n−1(xn−xi)∏1≤i<j≤n−1(xj−xi)=∏1≤i<j≤n(xj−xi).V(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^{n-1}(x_n - x_i) \prod_{1\le i<j\le n-1}(x_j - x_i) = \prod_{1\le i<j\le n}(x_j - x_i).

应用

  1. 特征值与对角化：若矩阵 AA 有 nn 个互不相同的特征值 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n，则范德蒙德行列式 V(λ1,…,λn)≠0V(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \neq 0，可用来证明这 nn 个特征值对应的特征向量线性无关，从而 AA 可对角化。
  2. 多项式插值：拉格朗日插值多项式的系数计算可以利用范德蒙德行列式。
  3. 线性代数：用于证明矩阵的线性无关性，特别是在多项式基底的情况下。
  4. 组合数学：在组合数学中的计数问题中，范德蒙德行列式的公式经常用来计算排列和组合问题中的某些特定结果。

推广

转置

范德蒙德行列式的转置矩阵保持相同的行列式值。这是因为行列式的基本性质之一是：

det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^T) = \det(A)

对于范德蒙德矩阵 VV，其转置矩阵为：

VT=[11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1]V^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{bmatrix}

由于行列式对转置矩阵不变，因此：

det⁡(VT)=det⁡(V)=∏1≤i<j≤n(xj−xi)\det(V^T) = \det(V) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

从 kk 次开始的推广

若考虑下面这个仍然是 n×nn \times n 的矩阵

Wk(x1,x2,…,xn)=∣x1kx1k+1⋯x1k+n−1x2kx2k+1⋯x2k+n−1⋮⋮⋱⋮xnkxnk+1⋯xnk+n−1∣,W_k(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} x_1^k & x_1^{k+1} & \cdots & x_1^{k+n-1} \\ x_2^k & x_2^{k+1} & \cdots & x_2^{k+n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n^k & x_n^{k+1} & \cdots & x_n^{k+n-1} \end{vmatrix},

则每一行都可以提取公因子 xikx_i^k, 因而

Wk(x1,x2,…,xn)=(∏i=1nxik)∏1≤i<j≤n(xj−xi).W_k(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \left( \prod_{i=1}^n x_i^k \right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).

这就是“从 kk 次开始”的标准推广形式。

其他推广方式

范德蒙德行列式有许多其他推广方式，包括但不限于以下几种：

  1. 非整数幂次的推广：
    考虑行列式的元素是非整数幂次，例如 x1a1,x2a2,…,xnanx_1^{a_1}, x_2^{a_2}, \ldots, x_n^{a_n}，其中 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n 是任意实数。这种情况下，行列式仍然可以通过类似的方法进行计算，尽管具体形式会变得复杂。

  2. 混合幂次的推广：
    行列式的每一列可以是不同幂次的混合，例如：

    ∣1x12x14⋯x12n−21x22x24⋯x22n−2⋮⋮⋮⋱⋮1xn2xn4⋯xn2n−2∣\begin{vmatrix} 1 & x_1^2 & x_1^4 & \cdots & x_1^{2n-2} \\ 1 & x_2^2 & x_2^4 & \cdots & x_2^{2n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n^2 & x_n^4 & \cdots & x_n^{2n-2} \end{vmatrix}

    这种行列式的值可以通过将其转换为标准范德蒙德行列式来求解。

  3. 参数化推广：
    引入参数化变量，例如在每一项中引入系数 aia_i，形成如下矩阵：

    ∣1a1x1a1x12⋯a1x1n−11a2x2a2x22⋯a2x2n−1⋮⋮⋮⋱⋮1anxnanxn2⋯anxnn−1∣\begin{vmatrix} 1 & a_1 x_1 & a_1 x_1^2 & \cdots & a_1 x_1^{n-1} \\ 1 & a_2 x_2 & a_2 x_2^2 & \cdots & a_2 x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n x_n & a_n x_n^2 & \cdots & a_n x_n^{n-1} \end{vmatrix}

    这类行列式的计算可以利用多项式的线性组合和行列式的性质来进行。

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