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长度

CyletixZacharia2大约 3 分钟

理论数学中向量的定义为任何在称为线性空间的代数结构中的元素。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量.

向量可以映射到空间中的箭头、有序的数字列表[21]\left[{\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right]

(−4,2)(-4,2) 代表一个点，(−4,2)(-4,2) 这种圆括号的表示方法同样可以用于表示向量；[−23]\left[\begin{array}{c}-2\\3\end{array}\right] 每一对数给出唯一一个向量，而每一个向量恰好对应唯一一对数。（竖着写是为了区别于几何上的点）

长度

范数

加法

向量加法和向量数乘、线性代数中每个主题都围绕着这两种运算

我比较喜欢把每个向量看作一种特定的运动，即在空间中朝着某个方向迈出一定距离，如果你先沿着第一个向量运动，然后再按照第二个向量所描述的运动方式运动，总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异。（用物理来理解超级容易：合力）

你也可以把它看做数轴上加法的一种扩展，我们可以用这种方法教小孩做加法，比如2+5，考虑向右移动2步，再向右移动5步，总体效果与向右移动7步无异。（把向量分成基底，然后分别相加）

[x1y1]+[x2y2]=[x1+x2y1+y2] \begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}+\left[\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]

加法封闭性

数乘

2⋅[xy]=[2x2y] 2\cdotp\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x\\2y\end{bmatrix}

“缩放” Scaling、“标量” Scalars

当向量与一个负数相乘时，比如-1.8，说明这个向量首先反向，然后伸长为原来的1.8倍。

这种拉伸或压缩，有时又使向量反向的过程被称为“缩放”。而我们选择的2、1/3、-1.8或者其他任何数，它们用于缩放向量，被称为“标量“。

实际上自始至终，数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量。所以“标量”和“数字"两个词通常在这里可以相互替换。

减法

v=[−13],w=[22] v=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix},w=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}

v−w=[−1−23−2]=[−31] v-w=\begin{bmatrix}-1-2\\3-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}

把向量vv和ww看作两个点，v−wv-w就是vv相对于ww的位置。如果把vv和ww看作从原点开始的箭头。v−wv-w是从ww头部到vv头部的箭头。

![[epub_42617548_198.jpg]]

向量减法v−wv-w，相当于从向量ww开始移动到向量vv经历的步数和方向。

v−w=[−31]v-w=\begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}表示从ww点开始，需要向左走3个单位、再向上走1个单位，才能到达vv点。这个向量有时被称为从ww到vv的位移（displacement）。