定义：域是一个集合 $F$，其上定义了两个运算：加法和乘法，使得这个集合在这些运算下满足以下性质：

1. 加法运算：$(F, +)$ 是一个交换群。

   • 封闭性：对于任意 $a, b \in F$，$a + b \in F$。
   • 结合性：对于任意 $a, b, c \in F$，$(a + b) + c = a + (b + c)$。
   • 交换性：对于任意 $a, b \in F$，$a + b = b + a$。
   • 存在加法单位元：存在 $0 \in F$，使得对于任意 $a \in F$，$a + 0 = a$。
   • 存在加法逆元：对于任意 $a \in F$，存在 $-a \in F$，使得 $a + (-a) = 0$。

2. 乘法运算：$(F \setminus \{0\}, \cdot)$ 是一个交换群。

   • 封闭性：对于任意 $a, b \in F$，$a \cdot b \in F$。
   • 结合性：对于任意 $a, b, c \in F$，$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。
   • 交换性：对于任意 $a, b \in F$，$a \cdot b = b \cdot a$。
   • 存在乘法单位元：存在 $1 \in F$，使得对于任意 $a \in F$，$a \cdot 1 = a$。
   • 存在乘法逆元：对于任意 $a \in F$ 且 $a \neq 0$，存在 $a^{-1} \in F$，使得 $a \cdot a^{-1} = 1$。

3. 分配律：

   • 对于任意 $a, b, c \in F$，$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ 和 $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$。

示例

• 有理数集合 $\mathbb{Q}$，实数集合 $\mathbb{R}$，复数集合 $\mathbb{C}$ 在通常的加法和乘法运算下都构成一个域。
• 有限域 $\mathbb{F}_p$，其中 $p$ 是素数。