定义

二重积分用于计算在平面区域上的函数的积分。假设我们有一个函数$f(x, y)$，并且我们希望在区域$D$上对该函数进行积分。二重积分的表示形式如下：

$$\iint_D z(x,y) \, dA$$

其中$dA$是区域$D$上的一个微小面积元。

二重积分可以表示曲面顶部柱体体积, 或者平面薄片质量

计算

1. 定义区域$D$：确定积分的区域，可以是一般的闭合区域，也可以是简单区域。
2. 选择积分次序：选择先对$x$还是$y$进行积分。积分上下限为常数则最后积分。
3. 计算内层积分：对其中一个变量积分，保持另一个变量不变。
4. 计算外层积分：将内层积分的结果对另一个变量积分。

例如，对矩形区域$[a, b] \times [c, d]$上的函数$f(x, y)$的二重积分可以写成：

$$\iint_{[a, b] \times [c, d]} f(x, y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx$$

直角坐标法

积分构成

1. $x$的边界为常数，在区间$[a, b]$内对$x$进行积分，得到$y$的边界$\phi_{1}(x)$和$\phi_{2}(x)$。
2. 这些边界定义了一个由$x$和$y$确定的二重积分区域$D$。
3. 将$D$对y积分，得到"体积"

积分解耦

1. 找到$z$的边界函数$z = z(x, y)$。
2. 找到$y$的边界函数$y = \phi_{1}(x)$和$y = \phi_{2}(x)$。
3. 对$y$积分：$\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} z(x, y) \, dy$。这是一个关于x的函数，可以记作$f(x)$
4. 对$x$积分：$\int_a^b f(x)dx$

极坐标法

1. 将平面上的点用极坐标表示：$(x, y) \rightarrow (r, \theta)$，其中$x = r \cos(\theta)$，$y = r \sin(\theta)$。
2. 转换后，积分区域也要相应转换。
3. 积分形式变为：

$$\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D} f(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) \, r \, dr \, d\theta$$

换元

二重积分换元法