转动惯量说明文档

转动惯量是描述物体绕某一轴旋转时惯性大小的物理量，通常用$I$表示。对于质量分布不均匀或形状复杂的物体，转动惯量需要通过积分计算。

1. 转动惯量的定义

对一质量为$m$的质点，其相对于某一轴的转动惯量$I$定义为：

$$I = mr^2$$

其中$r$是质点到旋转轴的垂直距离。 对于具有连续质量分布的物体，转动惯量通过积分形式定义为：

$$I = \iiint_V r^2 \, \rho(\mathbf{r}) \, dV$$

其中：

• $V$是物体的体积。
• $r$是体积元素$dV$到旋转轴的垂直距离。
• $\rho(\mathbf{r})$是物体在点$\mathbf{r} = (x, y, z)$处的密度函数。

2. 平行轴定理

若已知物体相对于质心轴$C$的转动惯量$I_C$，则物体相对于平行于$C$且距离为$h$的任意轴$A$的转动惯量$I_A$可通过平行轴定理计算：

$$I_A = I_C + Mh^2$$

其中$M$是物体的总质量。

3. 计算步骤

1. 确定密度函数$\rho(\mathbf{r})$：如果物体密度均匀，$\rho(\mathbf{r}) = \rho_0$为常数。
2. 设定积分区域：根据物体的形状，确定积分区域$V$。
3. 计算转动惯量：使用积分公式$I = \iiint_V r^2 \, \rho(\mathbf{r}) \, dV$进行计算。

4. 示例

计算一半径为$R$、质量为$M$的均匀球体绕其中心轴的转动惯量。

• 密度函数：$\rho_0 = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$。

• 积分区域：球体的体积$V$，使用球坐标$(r, \theta, \phi)$，其中$r$从$0$到$R$，$\theta$从$0$到$\pi$，$\phi$从$0$到$2\pi$。

• 转动惯量：

$$I = \iiint_V r^2 \sin^2\theta \, \rho_0 \, r^2 \, dr \, d\theta \, d\phi$$

将密度$\rho_0$和积分变量分离，得到：

$$I = \rho_0 \int_0^R r^4 \, dr \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta \int_0^{2\pi} d\phi$$

计算各个部分的积分：

$$\int_0^R r^4 \, dr = \frac{R^5}{5}, \quad \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = \frac{4}{3}, \quad \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$$

最终，转动惯量为：

$$I = \frac{2}{5}MR^2$$

该结果即为球体绕其中心轴的经典转动惯量公式。