含参重积分

定义

含参重积分表示带有参数$\alpha$的函数在某个区域$V$内的积分：

$$I(\alpha) = \iiint_V f(x, y, z; \alpha) \, dV$$

其中：

• $\alpha$为参数，$(x, y, z)$为空间变量，积分结果依赖于$\alpha$。
• $V$为积分区域。

计算

求导

如果积分表达式依赖于参数$\alpha$，其导数可通过对被积函数的$\alpha$偏导得到：

$$\frac{dI}{d\alpha} = \iiint_V \frac{\partial f(x, y, z; \alpha)}{\partial \alpha} \, dV$$

换元

使用变量替换将积分区域$V$变换为$V'$时，引入雅可比行列式$|J|$：

$$I(\alpha) = \iiint_{V'} f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z); \alpha) \, |J| \, dV'$$