含参重积分

定义

含参重积分表示带有参数$\alpha$的函数在某个区域$V$内的积分：

$$I(\alpha) = \iiint_V f(x, y, z; \alpha) \, dV$$

其中：

• $\alpha$为参数，$(x, y, z)$为空间变量，积分结果依赖于$\alpha$。
• $V$为积分区域。

计算

求导

在固定有界区域 $V$ 上，若 $f$ 与 $\partial_\alpha f$ 在 $\overline V$ 与参数的某闭邻域的直积上连续，则可交换求导与积分：

$$\frac{dI}{d\alpha} = \iiint_V \frac{\partial f(x, y, z; \alpha)}{\partial \alpha} \, dV$$

换元

使用变量替换将积分区域$V$变换为$V'$时，引入雅可比行列式$|J|$：

$$I(\alpha)=\iiint_{V'} f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w);\alpha)\left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw$$

换元使用从新变量 $(u,v,w)$ 到原变量 $(x,y,z)$ 的 $C^1$ 可逆变换（边界零测集另处理），不可把逆映射的方向和雅可比混用。若换元依赖参数，求导时还要对复合函数、雅可比和新积分域一起求导。

区域本身变化时有额外边界项：在足够光滑的运动区域上，

$$\frac d{d\alpha}\iiint_{V(\alpha)}f\,dV=\iiint_{V(\alpha)}\partial_\alpha f\,dV+\iint_{\partial V(\alpha)}f v_n\,dS,$$

其中 $v_n$ 是边界沿外法向的速度。例如半径为 $\alpha>0$ 的球上 $f=1$，导数为 $4\pi\alpha^2$，全来自边界项；固定域公式若直接套用会错得零。二维对应关系见莱布尼兹公式。