表面积微元

圆柱体侧面的表面积微元 $d\mathbf{S}$ 的计算涉及到圆柱的表面参数化以及从中得到的法向量。

圆柱的表面参数化

考虑一个半径为 $R$，高为 $H$ 的直立圆柱。它的侧面可以通过以下参数化来描述：

$$\mathbf{r}(\theta, z) = (R \cos \theta, R \sin \theta, z)$$

其中，$\theta$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 之间变化，$z$ 在 $0$ 到 $H$ 之间变化。这里 $R$ 是常数，表示圆柱的半径，$z$ 是圆柱的高度从底部到顶部的变量。

计算 $d\mathbf{S}$

从参数化中，我们计算偏导数：

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-R \sin \theta, R \cos \theta, 0)$$

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = (0, 0, 1)$$

取这两个向量的叉积以获得侧面的法向量，它同时也是面积元素向量的方向。

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = (-R \sin \theta, R \cos \theta, 0) \times (0, 0, 1) = (R \cos \theta, R \sin \theta, 0)$$

注意到这个结果与圆柱侧面的单位法向量相同，但具有 $R$ 的长度，这表示这个面积元素的大小。因此，侧面的面积元素为：

$$d\mathbf{S} = \left(R \cos \theta, R \sin \theta, 0\right) \, d\theta \, dz$$

这里的 $d\theta \, dz$ 表示参数空间中的小区域。面积微元 $d\mathbf{S}$ 的大小就是 $R \, d\theta \, dz$，方向是圆柱侧面的外法向。

通量计算示例

如果向量场是 $\mathbf{A} = (x, y, 0)$，那么通过圆柱侧面的通量 $\Phi$ 就是：

$$\Phi = \int_{\text{Cylinder Side}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^H \int_0^{2\pi} (R \cos \theta, R \sin \theta, 0) \cdot (R \cos \theta, R \sin \theta, 0) \, d\theta \, dz$$

$$= \int_0^H \int_0^{2\pi} R^2 \, d\theta \, dz = 2\pi R^2 H$$

这就是圆柱侧面的通量计算方法，基于圆柱的几何形状和给定向量场的特性。