旋转体的体积

直角坐标

1. 计算旋转切面的面积，若截面是圆盘用 $\pi R^2$；若是圆环用 $\pi(R^2-r^2)$
2. 计算切面沿旋转轴的累积

柱面坐标

绕$z$轴旋转的体积计算可以用柱坐标系$(r, \theta, z)$来表示，其中$r$是半径，$\theta$是旋转角度，$z$是高度。公式可以表示为：

$$V = \int \int \int r \, dr \, d\theta \, dz$$

具体的积分限和函数形式取决于旋转体的具体形状和旋转方式。

计算顺序

1. 固定半径的径向—轴向小矩形面积为 $dr\,dz$
2. 沿角方向扫过长度 $r\,d\theta$，得到体积元 $r\,dr\,dz\,d\theta$

圆环法与壳层法

绕 $z$ 轴、截面内外半径为 $0\le r(z)\le R(z)$ 时，

$$V=\pi\int_a^b[R(z)^2-r(z)^2],dz.$$

若区域按半径分层，高度为 $h(r)\ge0$，则

$$V=2\pi\int_c^d r h(r)\,dr.$$

例如 $0\le r\le1,\ 0\le z\le1-r^2$，壳层法得 $2\pi\int_0^1r(1-r^2)\,dr=\pi/2$；圆盘法得 $\pi\int_0^1(1-z)\,dz=\pi/2$。两者是同一个三重积分的不同积分次序；先描述旋转后的区域，避免将重叠部分重复计入。